comment démontre-t-on la formule de Legendre :
merci
Formule de Legendre
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formule de Legendre
par sue » 06 Jan 2008, 01:15
salut,
comment démontre-t-on la formule de Legendre :=\sum_{i=1}^{\infty} \[\frac{n}{p^i}\])
merci
comment démontre-t-on la formule de Legendre :
merci
par alben » 06 Jan 2008, 03:13
Bonsoir,
Soit n quelconque et k tel que
. Parmi les entiers 1,2,...n il y aura exactement )
multiples de p^i, certains sont même multiples de puisssances supérieures à i de p mais ça n'a pas d'importance. Si i est supérieur à k, le résultat sera 0.
Il suffit alors d'additionner tous ces termes.
Ainsi si un
est mutiple de 
, il sera compté 4 fois : comme multiple de p, de p² de 
et de .
Comme tu le vois, c'est un dénombrement assez simple
Soit n quelconque et k tel que
Il suffit alors d'additionner tous ces termes.
Ainsi si un
Comme tu le vois, c'est un dénombrement assez simple
par sue » 06 Jan 2008, 03:45
c bien la preuve d'Alben que j'ai.
ok, Aviateurpilot
mais sinon coment puis je mq pr 2 entiers a et b :\leq v_p(b) \Rightarrow a|b)
(l'autre sens étant évident je cherche juste ce sens)
autre question : que peut on dire sur)
?
ok, Aviateurpilot
mais sinon coment puis je mq pr 2 entiers a et b :
(l'autre sens étant évident je cherche juste ce sens)
autre question : que peut on dire sur
par aviateurpilot » 06 Jan 2008, 04:48
voila l'equivalence: \le v_p(b))
pour ===>)
on prend
on a donc})
et })
donc-v_p(a)}\in\mathbb{Z})
si\neq v_p(b))
alors =min(v_p(a),v_p(b)))
si=v_p(b))
alors \ge v_p(b))
=v_p(a)+v_p(b))
pour ===>)
on prend
on a donc
donc
si
si
par alben » 06 Jan 2008, 11:18
Ca semble clair si l'un des deux est plus petit, disons vp(a)<vp(b). La somme sera donc divisible par })
soit}})
mais modulo p : }}\neq0)
}}=0)
donc vp(a+b) ne pourra être supérieur à vp(a)
soit
donc vp(a+b) ne pourra être supérieur à vp(a)
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