Formule des accroissement fini

[Rik95]

Bonsoir,

J'ai un exercice qui me demande de démontrer plusieurs inégalités en utilisant la formule des accroissement fini ... mais je ne vois pas ce qu'il veut dire par formule des accroissement fini ?

Par exemple voici une des inégalités que je dois démontrer : x>0 ==> (x/(x+1))*ln(1+x)
Pourrai je avoir un exemple svp ?

Merci

[capitaine nuggets]

Salut !

J'ai un peu de mal à voir comment tu utiliserais la formule des accroissements finis ici...
Pour tout , on a :

[CENTER], on a :

[CENTER][/CENTER]

Alors étudie sur la fonction et montre qu'en fait :+++:

[zygomatique]

salut

si x > 0 alors x > 0 et x + 1 > 0 donc 0 < x/(x + 1) < 1

donc il suffit de montrer que ln(x + 1) < x

or ln(u) =< u - 1 car la courbe de ln est en dessous de sa tangente au point d'abscisse 1 (cours de terminale)

donc ln(x + 1) =< x (en posant u = x + 1)


sinon ça se démontre comme le propose le capitaine

....

[BiancoAngelo]

Bonsoir,

J'ai un exercice qui me demande de démontrer plusieurs inégalités en utilisant la formule des accroissement fini ... mais je ne vois pas ce qu'il veut dire par formule des accroissement fini ?

Par exemple voici une des inégalités que je dois démontrer : x>0 ==> (x/(x+1))*ln(1+x)<x

Pourrai je avoir un exemple svp ?

Merci

Bonjour,

Soit bien définie, continue et dérivable sur

On a alors et donc .

D'aprés l'inégalité des accroissements finis, on a alors :


qui donne : et vu ce qui a été écrit dans les posts d'avant... :lol3: :lol3:

[Rik95]

Merci pour vos réponses, en effet j'ai penser comme le propose Capitaine a étudier la fonction ou utiliser le fais que lnx est toujours inférieur à x et inférieur a e^x mais en passant par les accroissement fini ... aucune idée :(

BiancoAngelo ton idée est excellente j'avoue ne pas y avoir penser mais dans l'exercice on nous demande de le montrer pour tout x > 0 soit l'intervalle [ 1, + l'infini [ , le 0 n'est donc pas inclut :'(

Edit : c'est bon enfaite en reprenant l'idée de BiancoAngelo sur l'intervalle [ 1, + l'infini [ j'ai reussi a le montrer comme ceci : f(b) - f(a) / b - a < f'(c) < K ( inégalité des accroissement fini )

En prenant b = x et a = 1 j'ai obtenu : (ln(1+x) - ln2) / (x-1) < f'(c) < 1

Donc ln(1+x) < x-1 + ln2 < x

et comme x/x+1 est toujours entre 0 et 1 vu que x+1 > x on a alors :

(x/x+1)*ln(1+x)
Est ce correct ?

[zygomatique]

son idée est simplement une autre version de mon idée elle-même comparable à celle du capitaine ....

[BiancoAngelo]

Rik, sache que l'inégalité est valable sur l'intervalle ouvert, et puis si c'est pour x > 0, c'est bien pour :lol3:

[Rik95]

Rik, sache que l'inégalité est valable sur l'intervalle ouvert, et puis si c'est pour x > 0, c'est bien pour :lol3:

Oui, donc dans l'intervalle [1, + l'infini [, il existe un c dans ]1, + l'infini [ ?

[BiancoAngelo]

BiancoAngelo ton idée est excellente j'avoue ne pas y avoir penser mais dans l'exercice on nous demande de le montrer pour tout x > 0 soit l'intervalle [ 1, + l'infini [ , le 0 n'est donc pas inclut :'(

Ce que j'avais fait était bien sur l'intervalle

[BiancoAngelo]

Soit bien définie, continue et dérivable sur

On a alors et donc .

D'aprés l'inégalité des accroissements finis, on a alors :


qui donne :
qui donne : car ln est croissante...

et en multipliant par x de chaque côté...:


Ca, ca va bien, mais là c'est bien sur ...

D'où l'intérêt de l'autre, car en prenant ln(x+1), on était direct sur le bon intervalle :lol3:

[BiancoAngelo]

Soit bien définie, continue et dérivable sur

On a alors et donc .

D'aprés l'inégalité des accroissements finis, on a alors, (en fait, c'est même ici) :


qui donne :
qui donne :

Voilà ! Sans étude de fonction, juste des accroissements finis :we:

[Rik95]

Merci Bianco :)

Un ami ma fait parvenir la correction de son prof de TD, je viens de regarder pour les 2 premiers que j'ai essayer de faire donc celle la et une autre ou il faut montrer que e^x > x+1 pour tout x appartenant a R étoile.

Dans les 2 cas le prof a directement considérer qu'il y'avais un C dans l'intervalle donnée ... donc pour la première il a considéré qu'il y'avais un C dans ]0, + l'infini[ or d'apres ma comprehension vu qu'on a x > 0 donc x >= 1 on devrait conciderer le C dans l'intervalle ]1, + l'infini [ ...

meme chose dans la 2eme on a R etoile, il a supposer qu'on avait C dans ] 0, + l'infini [ et il a démontrer le résultat dans cet intervalle puis il a supposer C dans ] - l'infini, 0 [ or on devrait prendre C dans ] 1, + l'infini [ .. etc non ?

Est ce que j'ai mal compris le principe lorsque l'on considère le C dans l'intervalle ?

[BiancoAngelo]

Merci Bianco

Un ami ma fait parvenir la correction de son prof de TD, je viens de regarder pour les 2 premiers que j'ai essayer de faire donc celle la et une autre ou il faut montrer que e^x > x+1 pour tout x appartenant a R étoile.

Dans les 2 cas le prof a directement considérer qu'il y'avais un C dans l'intervalle donnée ... donc pour la première il a considéré qu'il y'avais un C dans ]0, + l'infini[ or d'apres ma comprehension vu qu'on a x > 0 donc x >= 1 on devrait conciderer le C dans l'intervalle ]1, + l'infini [ ...

meme chose dans la 2eme on a R etoile, il a supposer qu'on avait C dans ] 0, + l'infini [ et il a démontrer le résultat dans cet intervalle puis il a supposer C dans ] - l'infini, 0 [ or on devrait prendre C dans ] 1, + l'infini [ .. etc non ?

Est ce que j'ai mal compris le principe lorsque l'on considère le C dans l'intervalle ?

En fait, tout dépend si tu utilises le théorème pour une égalité, à savoir qu'il existe (logique, on considère que c'est au moins dérivable sur l'ouvert) tel que :



Ensuite, c'est que si on a un encadrement de la dérivée, c'est à dire :

, on aura :

, sauf que, cette inégalité fonctionne donc aussi sur tous les intervalles inclus dans ... (vu la définition du ).

Donc, finalement, si tu prends , tu auras :

( on a bien [x;y] inclus dans [a;b]).

Dans notre exemple, avec la fonction ln, x+1 et 0 sont bien sur , donc tout va bien !

C'est ce que tu "mets" dans f qui doit être dans l'intervalle de départ de majoration de la dérivée :lol3:

[Rik95]

Je crois comprendre ce que tu veux dire mais dans cette exo, je ne comprend pas pourquoi le prof a pris directement le C dans ]0, l'infini [ ...

Qu'est ce qui lui a donner le droit de faire sa ?

Edit : je coince sur la dernière de l'exo, toujours en utilisant les accroissement fini, il faut montrer que:

quelques soit x appartenant a R etoile on a :

1 + xln(x+racine(1+x²) > racine(1+x²)

J'ai essayer en considérant la fonction ln(x+racine(1+x²) mais sa n'abouti a rien, j'ai aussi essayer en considérant les fonctions 1 +xln(x+racine(1+x²) et 1 +xln(x+racine(1+x²) - racine(1+x²) mais sa ne donne rien, je suis a court d'idée :(

[Rik95]

personne ? ;(

[zygomatique]

(avec la quantité conjuguée)

donc en posant

on veut montrer que -xln(u(x) - x) > u(x) - 1

....

[BiancoAngelo]

personne ? ;(

Moi je ne trouve que :

Soit définie sur .

On calcule et on trouve .

Donc .

On a d'après le théorème.

En regardant le signe de , on a alors que :

et en multipliant le tout par et en ajoutant 1, on a :



Pour l'instant, je n'ai que ça !

EDIT : ce qu'a donné zygomatique est ce que je cherchais, ramener le problème à un truc avec une expression plus simple...

[BiancoAngelo]

(avec la quantité conjuguée)

donc en posant

on veut montrer que -xln(u(x) - x) > u(x) - 1

....

Mais après tu fais quoi pour t'en sortir ?

[zygomatique]

Mais après tu fais quoi pour t'en sortir ?

j'en sais rien ... pour l'instant ... :ptdr:



mais on peut remarquer que u(x) - 1 = u(x) - u(0)....

[Ben314]

Salut,

quelques soit x appartenant a R etoile on a :
1 + xln(x+racine(1+x²) > racine(1+x²)

Ça reviens a montrer que est du signe (strict) de x pour x non nul.
Or f se prolonge gentiment en 0 avec f(0)=0 et, pour tout x non nul,
Ce qui permet de conclure.