Forme bilinéaire

[Vitlia]

Bonjour,

J'aimerais savoir comment démontrer qu'une forme bilinéaire est un produit scalaire ?

Merci pour vos réponses :)

[Ben314]

Euhhhhhh, ça c'est de la "super question" super dûre à démontrer....

Donc, un petit rappel de cours :

Par DEFINITION, un "produit scalaire", c'est une forme bilinéaire symétrique définie positive (sur un e.v. réel)

[Vitlia]

Ah désolé si je me suis mal exprimé, ce n'est pas au niveau théorique mais au niveau des exercices que je posais ma question.
Alors si j'ai bien compris pour trouver si une forme bilinéaire est un produit scalaire je dois trouver tout d'abord la matrice associée à la forme bilinéaire et voir si cette matrice est symétrique. Et je dois ensuite voir si toutes les valeurs propres sont strictement positives. Je pourrais alors en conclure que ma forme bilinéaire est bien un produit scalaire. C'est ça ?

[Rha]

C'est probablement plus compliqué de trouver la matrice et d'étudier ses valeurs propres que de vérifier et .
Cette "méthode" a aussi l'avantage d'être valable en dimension infinie.

[Ben314]

Ah désolé si je me suis mal exprimé, ce n'est pas au niveau théorique mais au niveau des exercices que je posais ma question.
Alors si j'ai bien compris pour trouver si une forme bilinéaire est un produit scalaire je dois trouver tout d'abord la matrice associée à la forme bilinéaire et voir si cette matrice est symétrique. Et je dois ensuite voir si toutes les valeurs propres sont strictement positives. Je pourrais alors en conclure que ma forme bilinéaire est bien un produit scalaire. C'est ça ?

Oui, c'est une des méthodes : écrire la matrice dans une base quelconque puis étudier cette matrice.
Mais dans certains exercices où on te donne directement l'expression de pour dans l'e.v. , il est fréquement plus simple de travailler directement sur la fonction f plutôt que sur la matrice associée.
Dans ce cas, il faut montrer que :
1) pour tout -> symétrie.
2) pour tout -> positive
3) -> définie (positive)

EDIT : grillé par RHA...
mais attention à ne pas oublier le 2) "positive" car, pour une forme non positive, être "non dégénérée" veut aussi dire quelque chose, mais ce n'est pas "f(x,x)=0 => x=0", c'est "f(x,y)=0 pour tout y => x=0" qui n'est plus équivalent.

[Rha]

Tu fais bien de préciser, j'avais oublié le caractère positif :)

[Vitlia]

Merci beaucoup tout mais plus clair désormais :)

[Vitlia]

J'ai essayé de faire un exercice pour voir si j'avais bien compris alors j'ai pris la forme bilinéaire suivante:

F((x,y,z);(a,b,c))=xa+xb+ay+2yb+xc+az+yc+bz-3zc

J'ai réussi à démontrer que F((x,y,z);(a,b,c))=F((a,b,c);(x,y,z))
J'ai réussi à démontrer que pour F((x,y,z);(x,y,z)), Ker(F)={(0,0,0)}
Je reste cependant dubitatif sur l'étape 2), c'est à dire que F((x,y,z);(x,y,z))>=0 pour tout (x,y,z)

Pour cette étape j'ai écrit la matrice associé à la forme bilinéaire F((x,y,z);(x,y,z)) et j'ai appliqué la méthode des mineurs principaux et j'ai trouvé que la matrice est de forme indéfini ...mais je reste sceptique par rapport à ma méthode pour résoudre l'étape 2)

Qu'en pensez vous ?
Merci pour l'aide.

[chan79]

Je reste cependant dubitatif sur l'étape 2), c'est à dire que F((x,y,z);(x,y,z))>=0 pour tout (x,y,z)


Merci pour l'aide.

salut
Essaie avec (x;y;z)=(1;1;1000)

[Vitlia]

Oui ahah c'est même assez net...ça saute aux yeux (je me sens un peu bête sur le coup ahah) :marteau:

Je peux alors en conclure que ma forme bilinéaire n'est pas un produit scalaire.

[chan79]

Je peux alors en conclure que ma forme bilinéaire n'est pas un produit scalaire.

tu peux conclure ça puisque la forme n'est pas définie positive

[Vitlia]

D'accord encore merci :we: