Il s'agit d'un type d'exo assez classique.
Soient
Etudier la continuité et la différentiabilité de f.
J'ai des doutes sur la majoration de
Je sais que
D'autre part,
On aurait alors la majoration suivante (??) :
merci pour votre aide.
Fonctions de 2 variables
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fonctions de 2 variables
par MacManus » 14 Sep 2010, 22:26
Bonsoir.
Il s'agit d'un type d'exo assez classique.
Soient
et 
définie par :
 = \{ \begin{array}{ll} \large \frac{|xy|^{\beta}}{x^2-xy+y^2} & \text{ si (x,y) \neq (0,0)} \\ 0 & \text{ si (x,y)=(0,0) }\end{array})
Etudier la continuité et la différentiabilité de f.
J'ai des doutes sur la majoration de|)
, pour établir la continuité de f en (0,0).
Je sais que
, donc ^{\beta})
D'autre part,+y^2\,=\,\frac{3}{2}(x^2+y^2))
On aurait alors la majoration suivante (??) :
|\,\leq\,\large \frac{\frac{1}{2^{\beta}}(x^2+y^2)^{\beta}}{\frac{3}{2}(x^2+y^2)}\,=\,\frac{1}{3.2^{\beta - 1}}(x^2+y^2)^{\beta - 1}\: \longrightarrow 0)
quand \mapsto (0,0))
merci pour votre aide.
Il s'agit d'un type d'exo assez classique.
Soient
Etudier la continuité et la différentiabilité de f.
J'ai des doutes sur la majoration de
Je sais que
D'autre part,
On aurait alors la majoration suivante (??) :
merci pour votre aide.
par gigamesh » 14 Sep 2010, 22:34
bonsoir,
pour minorer un quotient (avec numérateur et dénominateur positifs pour éviter les embrouilles), ça ne serait pas plus judicieux de minorer le dénominateur ?
De toutes façons, on attend à mon avis (très rapide, à vérifier) une discussion en fonction de la valeur de beta ; pour beta = 1 et en se plaçant sur y=x, clairement f n'est pas continue
pour minorer un quotient (avec numérateur et dénominateur positifs pour éviter les embrouilles), ça ne serait pas plus judicieux de minorer le dénominateur ?
De toutes façons, on attend à mon avis (très rapide, à vérifier) une discussion en fonction de la valeur de beta ; pour beta = 1 et en se plaçant sur y=x, clairement f n'est pas continue
par MacManus » 14 Sep 2010, 22:43
gigamesh a écrit:bonsoir,
pour majorer un quotient (avec numérateur et dénominateur positifs pour éviter les embrouilles), ça ne serait pas plus judicieux de minorer le dénominateur ?
oui oui c'est certain ! :soupir2:
je peux minorer
par MacManus » 14 Sep 2010, 22:45
gigamesh a écrit:De toutes façons, on attend à mon avis (très rapide, à vérifier) une discussion en fonction de la valeur de beta ; pour beta = 1 et en se plaçant sur y=x, clairement f n'est pas continue
Oui, dans ce cas f(x,y) = 1
par gigamesh » 14 Sep 2010, 23:00
MacManus a écrit:oui oui c'est certain ! :soupir2:
je peux minorerpar
Bin x et y peuvent être positifs ou négatifs ou un de chaque ; ça complique un peu les choses...
On peut utiliser les symétries de la surface par rapport à (xOz) et (yOz) pour se ramener au cas où x et y sont positifs ou nuls, ceci dit.
Peut-être x²+y²-xy >= 2|xy|-xy=xy (en supposant x et y positifs).
du coup il faudrait distinguer beta>1 et beta <1 ?
Bon courage (je vais me coucher !)
par gigamesh » 14 Sep 2010, 23:02
gigamesh a écrit:On peut utiliser les symétries de la surface par rapport à (xOz) et (yOz) pour se ramener au cas où x et y sont positifs ou nuls, ceci dit.
Oops ; non...
symétrie par demi-tour autour de (Oz) seulement...
La nuit porte conseil !
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