Densité fonctions à variables séparables

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ToToR_2000
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Densité fonctions à variables séparables

par ToToR_2000 » 26 Juin 2009, 19:51

Bonjour à tous,
J'ai une question un peu particulière sur la densité.
Dans une preuve que je dois rédiger, il est nécessaire d'approcher une fonction F numérique continue (>0) de p variables réelles (toutes >0) par une suite de fonctions Fn à variables séparables, càd telles que:

Une convergence simple (point par point) me suffirait.

Quelqu'un sait-il si une telle suite existe et auquel cas de quels résultats cela vient ?
Et si jamais vous avez une référence sur le sujet, je suis preneur !
D'avance, merci beaucoup !



kazeriahm
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par kazeriahm » 26 Juin 2009, 20:58

Le theoreme de Stone Weierstrass aide pas mal (http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Stone-Weierstrass#Le_th.C3.A9or.C3.A8me_de_Stone-Weierstrass.2C_version_alg.C3.A9brique si ca ne te dit rien), le probleme c'est que l'ensemble des fonctions du type (x,y)->f(x)*g(y) n'est pas stable par addition (alors qu'il l'est par multiplication).

Ton resultat est vrai si tu acceptes d'ecrire F comme une somme (eventuellement infinie, on peut tronquer si c'est une appli numerique) de fonctions de la forme recherchee.

Cependant cette approche n'est pas constructive (on n'exhibe pas de suite solution), donc pas tres utile numeriquement

ToToR_2000
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par ToToR_2000 » 26 Juin 2009, 22:24

Merci de ta réponse.

En fait, je ne vois pas très bien pourquoi tu parles de somme pour F. Si je comprends bien, tu dis que si F est de cette forme:

alors le résultat est vrai ? Mais pourquoi ?

Pour la remarque sur la (non)stabilité, tu dis ça parce que tu veux vérifier que les fonctions à variables séparables forment un SEV des fonctions continues ?(j'ai compris que ce n'était pas un SEV)
Et est-ce que tu fais cette vérif parce que c'est mieux (ou obligatoire ?) qu'un ensemble dense dans un EV en soit un SEV ? (désolé j'ai un peu oublié ces histoires)

p.s: le pb n'est pas numérique, juste th.

kazeriahm
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par kazeriahm » 26 Juin 2009, 23:27

oui pardon j'ai écrit a la va vite

en fait le théorème de Stone Weierstrass te dit que

pour un compact X (donc par exemple un segment de R), on considère une "sous algèbre" A de l'ensemble C(X,R) des fonctions continues sur X a valeurs dans R. Si A sépare les points, c'est a dire si pour tout x et y dans X différents, il existe une fonction f dans A telle que f(x) et f(y) soient différentes, et si la fonction constante égale a 1 appartient a A, alors

A est dense dans C(X,R), c'est a dire que toute fonction continue sur X a valeurs dans R est limite uniforme d'une suite de fonctions de A.

Bref.

Si tu as déjà vu ça, ce théorème généralise le théorème qui dit que sur un segment, toute fonction continue est la limite uniforme d'une suite de polynôme (on applique le gros théorème au dessus a l'ensemble A des fonctions polynomiales.

On essaye maintenant d'appliquer ce théorème avec l'ensemble A des fonctions qui s'écrivent comme F(x_1,..x_n)=f_1(x_1)...f_n(x_n).

Le problème c'est que A n'est pas une algèbre ici parce que la somme de deux fonctions de A n'est pas toujours dans A. Par contre si on rajoute a A toutes les combinaisons linéaires de fonctions de A (c'est a dire si on regarde l'espace vectoriel engendre par A), on obtient bien une algèbre et on peut appliquer le théorème.

Désolé pour la longueur (lourdeur ?) du message

ToToR_2000
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par ToToR_2000 » 27 Juin 2009, 13:37

Bonjour et merci de ta réponse !

Ce coup-ci j'ai compris. Au début, je pensais que considérer F comme une somme infinie de fonctions à variables séparables n'avait pas beaucoup d'intérêt pour moi... mais je me trompais ! En fait, ça passe quand même dans le cadre de ma preuve.

J'ai donc exhibé une sous-algèbre des fonctions continues qui me permettent d'utiliser Stone-Weierstrass (il déchire ce théorème).

Encore merci du coup de main !

 

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