Fonctions à plusieurs variables

[minidiane]

Bonjour voici un exercice que j'ai eu à l'examen et que je n'ai pas réussis à faire pouvez-vous me dire comment il fallait faire?
Merci.

Soit U un ouvert de R² tel que (x,y) appartient à U équivalent à (y,x) appartient à U. Soit f une fonction de classe C1 de U dans R. On définit la fonction F sur U par:

F(x,y)= (f(x,y)-f(y,x))/(x-y) si y différent de 0
F(x,y)= dérivée partielle de f en x de (a,a)- dérivée partielle de f en y de (a,a) si (x,y)=(a,a)

Montrer que pour tout (x,y) appartenant à U on a
F(x,y)= intégrale de 0 à 1 de dérivée partielle de f en x de (y+t(x-y),x)dt - intégrale de 0 à 1 de dérivée partielle de f en y de (x,t(x-y))dt

En déduire que F est continue sur U.
Application: soit a>0. Calculer

lim quand (x,y) tend vers (a,a) de (x^y-y^x)/exp(x/y)-exp(y/x))

[Joker62]

On corrige ton énoncé avant, parce que t'as dû oublier certains truc



Montrons que



voilà c'est ça ou pas ?

[minidiane]

Oui c'est ça désolé pour les fautes et merci de me l'avoir corrigé

[minidiane]

Quelqu'un peut-il m'aider j'ai trouver pour (x,y)=(a,a) mais c'est tout.

[thomasg]

Si x n'est pas égal à y

pour la première intégrale, une primitive de la fonction (LORSQUE TU DERIVE PAR RAPPORT A t) est

f(y+t(x-y);x)/(x-y)

en intégrant on trouve donc que la première intégrale est égale à
[f(x;x)-f(y;x)]/(x-y)

de même la seconde intégrale donne

[f(x;x)-f(x;y)]/(x-y)

En faisant la différence des deux résultats obtenus lors des calculs d'intégrale on obtient bien l'expression de F donnée au départ.

A bientôt.

[minidiane]

Merci thomasg.
Comment je montre que F est continue à partir de ça?

[thomasg]

Je m'intéresse seulement à la première intégrale, le raisonnement est identique pour la seconde.

f est C1 donc sa dérivée partielle par rapport à la première variable est continue.

Donc la fonction intégrée est une fonction de trois variables: x, y et t, composée de la dérivée partielle et de fonctions linéaires.
La fonction intégrée est donc continue.

Un théorème (dit parfois de continuité sous le signe intégral) prouve alors que la première intégrale est continue en x et y.

en espérant avoir répondu à ta question, à bientôt.

[minidiane]

Merci.
J'ai encore besoin d'aide cette fois c'est pour l'application je n'arrive pas à calculer lim quand (x,y) tend vers (a,a) de (x^y-y^x)/exp(x/y)-exp(y/x))
Quelqu'un peut-il m'aider?

[thomasg]

Peux-tu vérifier soigneusement l'écriture de l'expression que tu nous propose,

j'ai pour ma part un petit problème de signe.

Dans ton expression il y a au moins une erreur de parenthèses.

Merci.

[minidiane]

oui alors c'est ((x^y)-(y^x))/(exp(x/y)-exp(y/x))

[minidiane]

Quelqu'un peut m'aider?
svp.

[thomasg]

Je suis moi aussi intéressé par la réponse. Si quelqu'un peut nous aider ?

Merci.

[thomasg]

J'insiste une dernière fois pour un peu d'aide.

[fahr451]

quelle est la question précise ?

[minidiane]

La question c'est comment calculer la limite quand (x,y) tend vers (a,a) de ((x^y)-(y^x))/(exp(x/y)-exp(y/x)).
Je ne sais pas trop comment faire.

[fahr451]

soit u la fonction dont on cherche la limite


u = F/G


avec F associée à f(x,y) = x^y

et G associée à g(x,y)=exp(x/y)

que donne le résultat précédemment montré?

[minidiane]

F=(x^y-y^x)/(x-y) et G=(exp(x/y)-exp(y/x))/(x-y)
j'obtiens u=(x^y-y^x)/(exp(x/y)-exp(y/x))
C'est bien cela?

[fahr451]

ben oui tu as regardé ?

[minidiane]

oui j'ai calculé les dérivées partielles en (a,a) et je trouve df/dx=a^a df/dy=a^aln(a) dg/dx=e/a et dg/dy=-e/a
Enfin pour la limite je trouve a^(a+1)*(1-ln(a))/2e
Est-ce que c'est correcte?

[fahr451]

les dérivées sont justes
il faut savoir que dans un exo de maths la première question précède la deuxième