Développement limité de fonctions de plusieurs variables

[egan]

Salut tout le monde,

On sait bien que si une fonction f de Rn dans R est différentiable, on a la développement limité suivant:

f(x+h) = f(x) + df(x)(h) + o(||h||)

Si elle est deux fois différentiable, on a même:

f(x+h) = f(x) + df(x)(h) + 1/2h'.Hf(x).h + o(||h||^2)

Par contre, on a aussi des résultats du genre:

f(y) - f(x) = df(a)(y-x) avec a dans le segment x-y

f(y) - f(x) - df(x)(y-x) = 1/2(y-x)'.Hf(a)(y-x) avec a dans le segment x-y

Comment démontrer les deux derniers résultats ? Le premier est une généralisation de Rolle à priori. Par contre, même pour la dimension 1, je ne vois pas comment attaquer le deuxième.

@+ Boris.

[adrien69]

On ne les démontre pas, on les jette à la poubelle

Contre-exemple pour le 1 :
f(t)=(sin(t),cos(t))
f(0)=f(2)

Et pourtant la dérivée de f ne s'annule jamais.

Impossible donc que Rolle soit vrai, et a fortiori le théorème des accroissements finis.


Je cherche un contre-exemple pour la deuxième égalité, mais c'est la même idée.

[raph107]

Salut tout le monde,

On sait bien que si une fonction f de Rn dans R est différentiable, on a la développement limité suivant:

f(x+h) = f(x) + df(x)(h) + o(||h||)

Si elle est deux fois différentiable, on a même:

f(x+h) = f(x) + df(x)(h) + 1/2h'.Hf(x).h + o(||h||^2)

Par contre, on a aussi des résultats du genre:

f(y) - f(x) = df(a)(y-x) avec a dans le segment x-y

f(y) - f(x) - df(x)(y-x) = 1/2(y-x)'.Hf(a)(y-x) avec a dans le segment x-y

Comment démontrer les deux derniers résultats ? Le premier est une généralisation de Rolle à priori. Par contre, même pour la dimension 1, je ne vois pas comment attaquer le deuxième.

@+ Boris.

Il manque les restes aux égalités que tu veux démontrer: o(||y-x||) pour la première et o(||y-x||^2) pour la seconde. Sous cette hypothèse:
- pour la première, il suffit d'appliquer la définition de la differntielle au point a avec h = x-a puis avec h = y-a et de soustraire membre à membre et utiliser le fait que df(a) est linéaire

- pour la seconde tu appliques la définition de la différentielle du second ordre au point x avec h = y-x

[egan]

Pour la deuxième, elle est utilisée dans un de mes cours sans le reste. Le but c'est de ne pas avoir de reste justement. Mais je suis d'accord avec toi, on peut obtenir ce genre de formules avec un reste.

[egan]

On ne les démontre pas, on les jette à la poubelle

Contre-exemple pour le 1 :
f(t)=(sin(t),cos(t))
f(0)=f(2)

Et pourtant la dérivée de f ne s'annule jamais.

Impossible donc que Rolle soit vrai, et a fortiori le théorème des accroissements finis.


Je cherche un contre-exemple pour la deuxième égalité, mais c'est la même idée.

Tu me l'as faite à l'envers là. ^^
T'as pris une fonction de R dans R^2. Mais je veux une fonction de R^n dans R.

[adrien69]

Ah ben dans ce cas là j'y crois encore moins

soit

est constante valant 1 sur la diagonale de
Et pourtant sa différentielle y est toujours non nulle.

[jlb]

Ah ben dans ce cas là j'y crois encore moins

soit

est constante valant 1 sur la diagonale de
Et pourtant sa différentielle y est toujours non nulle.

si,si cela marche!! je pense que cela a un lien avec des extrema liés et ta différentielle n'a pas besoin d'être nulle. mais bon, je ne suis pas sur, à vérifier.

[Doraki]

f(y) - f(x) = df(a)(y-x) avec a dans le segment x-y

il suffit d'appliquer le théorème de Rolle à la fonction de [0;1] dans R
t -> f(x + (y-x)*t) - (f(x) + (f(y) - f(x))*t)

[adrien69]

Merde... Ça a l'air de marcher... Comment tu expliques mon contre-exemple Doraki ?

EDIT : Ah les calculs :mur: je suis con...

[egan]

il suffit d'appliquer le théorème de Rolle à la fonction de [0;1] dans R
t -> f(x + (y-x)*t) - (f(x) + (f(y) - f(x))*t)

Pour ça, il faut que f soit C1 ou juste différentiable ? Apparemment, différentiable suffit non ?

Pour le développement à l'ordre deux, comment on traite le cas de la dimension 1 ? J'essaye de trouver une fonction pour me ramener à Rolle mais ça ne me saute pas aux yeux...

[egan]

Personne ?

[egan]

Je relance avant que le post ne sombre dans des profondeurs abyssales. ^^

[egan]

Toujours personne ?