Fonctions sommables sur R ?

[lahass694]

Salut à tous,

Je suis nouveau en licence, je viens d'un BTS et j'ai un peu de mal en ce qui concerne les maths. Je dois vérifier si ces fonctions sont sommables sur R :/
Déja sommable ça veut dire intégrable ? C'est a dire qu'elles sont continues et dérivables ?

f(t)=e^it

f(t)=sin(t) (Je dirais que oui elle est sommable, qu'elle varie entre 0 et 1 mais je ne sais pas le prouver )

f(t)=e^|t| ( Pareil je dirais qu'elle est sommable et qu'elle varie entre 0 et 1 )

Merci d'avance pour votre aide.

[arnaud32]

sommable ca veut dire que est finie

[lahass694]

Merci pour la définition :lol3:

Tu pourrais m'aider, peut être as tu une idée pour l'appliquer sur mes 3 fonctions ?

Merci encore.

[arnaud32]

|e^it| = 1
qui n'est pas sommable sur R

etc ...

[lahass694]

Désolé mais je ne comprend pas trop... Pourrais tu m'expliquer comment tu as trouver 1*? De plus c'est une valeur finie donc la fonction serait sommable ?

[elvis77]

en appliquant la définition que t'a donné arnaud32 tu prends ta fonction et tu la majore (i.e. plus petit ou égal) par quelque chose de plus simple, puis si ce quelques chose de plus simple est sommable i.e. son intégrale est finie alors il en est de même pour ta fonction initiale.

|e^it|=1 car tu prends e^it et tu l'écris comme cos t + sin t et après tu en prends non pas la valeur absolue car on est dans les complexes, tu en prends... LE MODULE !

puis intégrale de 1 sur R n'est pas bien définie, essaie de faire le calcul, tu verras que ça bloque.

[lahass694]

Ah d'accord, merci je comprend mieux. L'intégrale sur R de 1 donne +Infinie donc en effet la fonction de base n'est pas sommable

Pour le sin(t) je peux le majorer par 1 ?

[Doraki]

oui mais ça sert à rien.

Si tu majores |f(t)| par quelquechose de sommable, alors f est sommable.
Si tu majores |f(t)| par quelquechose de non sommable, ça ne t'apprend rien ; n'importe quelle fonction peut être majorée par une fonction non sommable (par exemple, par max (1;|f(t)|))

Si tu minores |f(t)| par quelquechose de non sommable, alors f est non sommable.
Si tu minores |f(t)| par quelquechose de sommable, ça ne t'apprend rien ; n'importe quelle fonction peut être minorée par une fonction sommable (par exemple, par la fonction nulle)

[elvis77]

si tu le majore par 1, cela ne te donnera pas d'informations en plus tu sauras juste que ton integrale de départ est plus petite qu'un truc qui n'est pas intégrable donc tu peux rien dire.

tu peux dire des choses que quand ton intégrale est plus petite qu'un truc qui est intégrable.

pour le sin (t) tu peux déjà regarder ce qu'il se passe quand tes bornes intégrales sont finies, tu te fixe n par exemble.
aide : propriété de sinus ?

[lahass694]

Entre 0 et 2Pi ? Dans ce cas l'intégrale serait nulle ?

[elvis77]

je pensais plus a un petit n fixé que tu ferais tendre vers l'infini par la suite. mais tu as le début d'idée...

[lahass694]

Entre 0 et 'n' alors ? lim n-->infini -cos n ?

[elvis77]

attention on te demande une intégrale sur R donc une intégrale qui va de moins l'infini a plus l'infini donc tu prends ton intégrale entre -n et n et grâce aux propriétés de sinus tu en déduis quoi ?

[lahass694]

Ah oui pardon, j'en déduis que l'intégrale est nulle entre - n et n ?

[Doraki]

c'est pas l'intégrale de sin(t)dt qu'on doit regarder, mais celle de |sin(t)|dt.

[lahass694]

Ouai mais je ne trouve pas de moyen de majorer |sin(t)|

[Skullkid]

Bonjour, elvis77 et Doraki t'ont déjà expliqué que le but n'était pas de majorer |sin(t)|. Tu dois calculer , et voir si ça converge ou pas quand a tend vers + l'infini. Puisque |sin| n'est pas une fonction dont tu connais bien les primitives, essaye déjà de calculer cette intégrale pour certaines valeurs de a bien choisies.

[lahass694]

Désolé mais je vois vraiment pas. Je dirais peut être Pi/2 = a :hum:

[Skullkid]

Par exemple, pourquoi pas. Mais l'idée c'est de faire tendre a vers l'infini, donc il faudrait en fait que ce a soit un , qui tende vers l'infini quand n tend vers l'infini. Pourquoi as-tu proposé la valeur pi/2 ? En quoi est-elle intéressante ?

[busard_des_roseaux]

Tu dois calculer , et voir si ça converge ou pas quand a tend vers + l'infini. Puisque |sin| n'est pas une fonction dont tu connais bien les primitives, essaye déjà de calculer cette intégrale pour certaines valeurs de a bien choisies.

c'est pas sommable car <----FAUX