Énumération des rationnels / familles sommables

[Aispor]

Bonjours, voici le problème :


Je ne sais pas comment commencer ^^' merci

[Ben314]

Salut,
Y'a un (petit) bug dans l'énoncé : partout où il y a écrit , il faut que tu remplace par vu que dans la somme des prise sur l'ensemble des tels que (avec fixé) il faut évidement que ne soit jamais pris en considération.

Sinon, vu que tu as vu la notion de famille sommable (c.f. ton thread précédent), normalement, la question 1), c'est du "tout cuit" (si besoin est, (re)regarde ton cours et/ou le post que j'avais mis la dernières fois avec "rappels essentiels" concernant la notion de famille sommable).
Ou alors, c'est que :
- Tu ne comprend pas la notation avec le sigma -> elle est écrite en bleu ci dessus.
- Tu ne sais pas si la famille est ou n'est pas sommable (là, ça commence à être grave...).

[pascal16]

1 ) r : N*-> Q marcherait mieux a mon avis
il existe des numération (Q infini dénombrable)
la somme existe car la série de terme général 1/n² est convergente

2 )NB : {r(n) <t } est l'ensemble des rationnels plus petit que le réel t
je pense que la somme port sur n tel que r(n) <t

on fait la somme de choses strictement positives.
soit h réel, petit strictement positif
les rationnels plus petits que t+h sont aussi plus petits que h
la somme de tous les rationnels plus petits que t+h sont aussi plus petits la somme de tous les rationnels plus petits que h
Les sommes ne sont pas égales car il existe au moins un rationnel entre t et t+h (densité de Q dans R)

...

[aviateur]

Bonjour

pour le 3) Pour la continuité à droite:
Considérer 2 cas
cas1. .
soit Ecris f(t+h)-f(t) et voir une minoration pour tout h.

cas2. .
Réfléchir au comportement de quand h tend vers 0.

[Aispor]

Merci à tous d'avoir répondu.
Voici où j'en suis :

Q1. Pour t appartenant à R, j'ai majorer f(t) par la somme des 1/n**2 En utilisant le fait que {n appartenant à N, tq r(n)<t} est inclus dans N.

Q2. J'ai montré que pour t et h appartenant à R, h>0, f(t)<f(t+h) en utilisant la densité de Q dans R.

Q3. Je n'ai pas réussi
Pour h>0 et t appartenant à R, montrons que f(t+h)-f(t) tend vers 0.

Cas 1 : t appartient à Q
je me suis ramené à montrer que
SOMME (t<r(n)<t+h) [1/n**2] tend vers 0
Alors là j'ai vaguement dit que ça tendait vers 0 puisque "l'ensemble des n appartenant à N tq t<r(n)<t est vide"
J'ai aussi tenté avec le minimum nh comme à dit aviateur mais je vois pas x)


Cas 2 : t n'appartient pas à Q
Même chose pas réussi

[pascal16]

Q3. Je n'ai pas réussi
j'ai la tête à l'envers ce matin, donc peu d'idée :

peut-être par la densité encore une fois.


peut-être par l'absurde en 2 temps
-> monter que pour si f(t1+h)-f(t1) ne tends pas vers 0 alors f(t2+h)-f(t2) ne tends pas vers 0 (t1 et t2 différent, mais le même h)
-> donc la somme n'est pas convergente
(il y a pas mal de questions intermédiaires à se poser)

[Ben314]

Pour moi, les "très bonnes indications", c'est... celles données par aviateur dans son dernier post.
Et si tu y arrive pas, ça risque de venir du fait qu'il a juste donné "des indices" sans préciser explicitement les résultat que tu devrait trouver (mais c'est un peu sous entendu quand même, par exemple avec la phrase en bleu ci dessous)
Bref, je vais ter ajouter des indice supplémentaires (à utiliser bien sûr avec ceux d'aviateur)
1) Dans le cas où t est dans Q, la fonction f n'est pas continue à droite au point t (et ça normalement, tu aurais du le comprendre avec l'indic d'aviateur "voir une minoration pour tout h"
2) Dans le cas où t n'est pas dans Q, la fonction f est continue (à droite et à gauche) au point t (et en fait tu peut tout à fait montrer la continuité à gauche en tout point t de R : qu'il soit dans Q ou pas ne change rien)

Sinon, bien évidement, tout les calculs sont axés sur le fait que, si alors où la somme est prise sur les tels que où les inégalités strictes/larges (en rouge) vont être extrêmement importantes.

[aviateur]

Bonjour
Q3 . Le fait de dire "j'ai vaguement " est bien, c'est que ça ne va pas.
On a (il me semble que tu as mis t<r(n) "strict" mais si tu fais une erreur là tu ne peux pas à étudier correctement la continuité)

Désignons par . (Ce nombre existe bien, il dépend de t aussi mais je travaille à t fixé)

blablabla
Partie retirée.

Je n'ai pas regardé ce qu'il se passe à gauche pour la continuité mais cela m'étonnerait que cela soit + difficile que l'étude de la continuité à droite.

[aviateur]

Pas vu le message de @ben. J'ai peut être trop avancé ici ?
Si oui il lui reste à faire la continuité à gauche et à mettre + au propre ce que j'ai dit.

Bon j'ai retiré une bonne partie des explications qui permettent de découvrir le Schmilblick.

Perso je n'ai pas vu d'astuces particulières à cet exercice. C'est à dire une bonne dose de logique et de rigueur conduisent au résultat.

[Aispor]

Dac et bien merci à vous !

[Aispor]

Du coup c'est bon j'ai réussi merci