Fonctions sommables sur R ?

par **Skullkid** » 19 Oct 2011, 23:12

busard_des_roseaux a écrit:c'est pas sommable car

Salut, ce n'est pas une justification satisfaisante (outre le fait que |sin| n'a pas de limite en l'infini et donc qu'il est moyennement correct de parler de lim |sin|). La fonction continue affine par morceaux, nulle presque partout (au sens intuitif), qui au-dessus de chaque entier naturel n fait un triangle de hauteur n et de base 2/n^3 est intégrable sur R, mais elle n'a pas de limite en l'infini, et elle atteint même des valeurs aussi grandes qu'on veut.

par **lahass694** » 19 Oct 2011, 23:30

J'ai proposé Pi/2 car j'imagine que c'est à cet instant que |sin(t)| voit sa valeur maximale...

par **Skullkid** » 19 Oct 2011, 23:32

C'est vrai, mais pourquoi est-ce intéressant de regarder ce qu'il se passe autour des maxima ?

As-tu fait un dessin de la courbe de |sin| ? Est-ce que tu vois, intuitivement, sans le démontrer, pourquoi elle n'est pas intégrable ? Sur ce dessin, tu pourras sans doute voir qu'il est relativement simple de calculer son intégrale entre -a_n et a_n, pour certaines valeurs de a_n.

par **lahass694** » 19 Oct 2011, 23:50

Oui je vois la forme de la courbe et intuitivement je dirais entre -Pi, Pi ?
Pourquoi c'est interessant de regarder autour des maxima ? Je n'sais pas trop je dirais car il y a une symétrie dans ce cas là...

par **Skullkid** » 19 Oct 2011, 23:54

Oui, exploiter les symétries, et d'une manière générale les propriétés "remarquables" de la courbe est une bonne idée. Mais pour cette courbe-là, la propriété qui est surtout intéressante c'est la périodicité. |sin| est pi-périodique, elle fait la même chose entre 0 et pi, entre pi et 2pi, entre -pi et 0... Donc son intégrale entre 0 et pi va être égale à son intégrale entre pi et 2pi... Vois-tu où je veux en venir ?

par **lahass694** » 20 Oct 2011, 00:01

Oui je vois ce que tu veux dire. Par contre même si j'ai les bornes de l'intégrale il faut que je rtouve une primitive de |sin(t)| ?

par **Skullkid** » 20 Oct 2011, 00:21

Oui et non... Tu ne t'intéresses au final qu'à l'intégrale entre 0 et pi. Et sur cet intervalle, |sin(u)| = sin(u), qui est bien plus agréable.

par **lahass694** » 20 Oct 2011, 00:38

Je trouve 0 pour cette intégrale, celle de 0 à PI, ça prouve quelque chose ? :we:

par **Skullkid** » 20 Oct 2011, 00:44

lahass694 a écrit:Je trouve 0 pour cette intégrale, celle de 0 à PI, ça prouve quelque chose ? :we:

Ça ne prouve rien. Mais heureusement tu as fait une erreur de calcul, et le bon résultat t'aidera à prouver quelque chose !

par **Anonyme** » 20 Oct 2011, 07:28

Bonjour lahass694
Voici un récapitulatif des informations sur l'intégrale sur

de la fonction

(fonction continue donc intégrable sur [-a ,a] avec a un réel quelconque )

C'est une fonction positive qui est

périodique
De plus c'est une fonction paire donc tu devrais pouvoir démontrer le calcul suivant :
Pour tout

:

Comme elle est

périodique , on a donc

Ces 2 propriétés devraient te permettre de répondre à la question

Remarque:
Cette fonction n'est pas dérivable sur

car elle n'est pas dérivable aux points

avec

par **lahass694** » 20 Oct 2011, 07:31

Oula oui pardon jai trouvé 2. Sa voudrait dire qu'elle tendra vers l'infinie si on augmente les bornes ?

par **Anonyme** » 20 Oct 2011, 07:51

lahass694 a écrit:Oula oui pardon jai trouvé 2. Sa voudrait dire qu'elle tendra vers l'infinie si on augmente les bornes ?

OUI
Tu peux même calculer la valeur de l'intégrale

par **lahass694** » 20 Oct 2011, 08:38

4n ? vu que de 0 a Pi on a 2, de -Pi a Pi on a 4 ? Donc proportionnel a 4 ?

par **Anonyme** » 20 Oct 2011, 08:44

lahass694 a écrit:4n ? vu que de 0 a Pi on a 2, de -Pi a Pi on a 4 ? Donc proportionnel a 4 ?

Oui.............................

par **lahass694** » 20 Oct 2011, 09:03

Merci en tout cas pour cet exercie. Il me reste la fonction exponentielle avec la valeur absolue (e-|t|). Dois je etudier e^t de -inf a 0 et e^-t de 0 a +inf ?

par **Sylviel** » 20 Oct 2011, 09:42

Quelle est ta fonction exactement ? e^(-|t|) ?
Dans ce cas commence par regarder l'intégrale de 0 à +oo de ta fonction.
Puis on regardera sur R.

par **Anonyme** » 20 Oct 2011, 09:51

lahass694 a écrit:Merci en tout cas pour cet exercie. Il me reste la fonction exponentielle avec la valeur absolue (e-|t|). Dois je etudier e^t de -inf a 0 et e^-t de 0 a +inf ?

Bonjour
Etudie la parité de cette fonction et ensuite continue ton étude sur [0 ,+infini[

Question:
Est ce que cette fonction est

ou

?
car dans ton 1ier message tu as écrit

par **lahass694** » 20 Oct 2011, 11:00

C'est bien celle ci.

Sur l'intervalle positif j'ai trouvé que l'intégrale était égale à 1. Je suppose que c'est pareil sur l'intervalle négatif ?*

par **Anonyme** » 20 Oct 2011, 11:16

lahass694 a écrit:

C'est bien celle ci.

Sur l'intervalle positif j'ai trouvé que l'intégrale était égale à 1. Je suppose que c'est pareil sur l'intervalle négatif ?*

OUI
Si tu as trouvé que

alors il est très facile d'en déduire que :

Merci d'expliquer le raisonnement.

par **lahass694** » 20 Oct 2011, 11:39

De -Inf à 0 : |(e^|t|)| ~ e^t ; en faisant l'intégrale je trouve e;) - e^-inf = 1

De 0 à +inf : |(e^|t|)| ~ e^-t ; en faisant l'intégrale je trouve -e^-inf + e;) = 1

L'intégrale de -Inf à +Inf = (Intégrale de -Inf à 0) + (Intégrale de 0 à +Inf) = 1 + 1 = 2

Etant donné qu'il s'agit d'une valeur finie je peux conclure que la fonction est sommable :we:

Je remarque que la fonction est paire, il aurait été possible de prouver la parité avant le calcul ?

Fonctions sommables sur R ?

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