Besoin d'aide sur une question d'un exo sur les fonctions

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kmikazi
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besoin d'aide sur une question d'un exo sur les fonctions

par kmikazi » 10 Juin 2013, 00:15

On définit les deux fonctions c et s suivantes sur R par :
c(x) =(ex + e-x)/2 s(x) = (ex - e-x)/2
:
1. Montrer que la fonction c est paire.
2. Que peut-on déduire sur sa courbe représentative Cc.
3. Calculer la dérivée de la fonction c.
4. Calculer c(0), lim
x!+1
c(x), lim
x!;)1
c(x).
5. Dresser le tableau de variation de la fonction c sur R
6. Tracer l’allure de la courbe représentative Cc de c.
7. Montrer que la restriction de la fonction c à R+ réalise une bijection de R+ sur un
intervalle I à déterminer. On notera b cette bijection et b^-1 sa bijection réciproque.
8. Tracer l’allure du graphe de la bijection b^-1 sur la même figure que celui de c.
9. Montrer que , (c(x))2 - (s(x))2 = 1.
10. En déduire que pour tout x de I on a (b^-1)'(x) =1/racine(x²-1)
.
11. Calculer la dérivée de la fonction f : x ! ln(x +
p
x2 ;) 1) sur ]1;+1[.
12. En déduire que
8x 2 I; b;)1(x) = ln(x +
p
x2 ;) 1):


j'ai besoin d'aide pour la question 10 seulement

je trouve que (b^-1)'(x)=1/b'(x) = 1/s(x) donc apres je vois pas comment faire le lien avec la 9)



DamX
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par DamX » 10 Juin 2013, 00:45

Bonjour,

La question 9 permet d'ecrire :

c(b^-1(x))^2 - s(b^-1(x))^2 = 1 pout tout x dans I.

Il n'y a plus qu'à dériver les deux membres de cette égalité pour obtenir la réponse à la question 10.

Damien

jlb
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par jlb » 10 Juin 2013, 00:55

bonsoir,
recherche sur le net des références sur cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique, tout l'exercice c'est du cours.

[b(b^-1)]'(x)=b'(b^-1(x)).(b^-1)'(x)=1

(b^-1)'(x)=1/s[(b^-1)(x)]=1/rac(c²(b^-1(x))-1)=1/rac(x²-1)

bon, reprends le calcul de la dérivée de la composée, c'est là que tu bloques

kmikazi
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par kmikazi » 10 Juin 2013, 00:57

DamX a écrit:Bonjour,

La question 9 permet d'ecrire :

c(b^-1(x))^2 - s(b^-1(x))^2 = 1 pout tout x dans I.

Il n'y a plus qu'à dériver les deux membres de cette égalité pour obtenir la réponse à la question 10.

Damien


j'ai pas compris, il faut developper nn?

jlb
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par jlb » 10 Juin 2013, 01:00

kmikazi a écrit:On définit les deux fonctions c et s suivantes sur R par :
c(x) =(ex + e-x)/2 s(x) = (ex - e-x)/2
:
1. Montrer que la fonction c est paire.
2. Que peut-on déduire sur sa courbe représentative Cc.
3. Calculer la dérivée de la fonction c.
4. Calculer c(0), lim
x!+1
c(x), lim
x!;)1
c(x).
5. Dresser le tableau de variation de la fonction c sur R
6. Tracer l’allure de la courbe représentative Cc de c.
7. Montrer que la restriction de la fonction c à R+ réalise une bijection de R+ sur un
intervalle I à déterminer. On notera b cette bijection et b^-1 sa bijection réciproque.
8. Tracer l’allure du graphe de la bijection b^-1 sur la même figure que celui de c.
9. Montrer que , (c(x))2 - (s(x))2 = 1.
10. En déduire que pour tout x de I on a (b^-1)'(x) =1/racine(x²-1)
.
11. Calculer la dérivée de la fonction f : x ! ln(x +
p
x2 ;) 1) sur ]1;+1[.
12. En déduire que
8x 2 I; b;)1(x) = ln(x +
p
x2 ;) 1):


j'ai besoin d'aide pour la question 10 seulement

je trouve que (b^-1)'(x)=1/b'(x) = 1/s(x) donc apres je vois pas comment faire le lien avec la 9)


tu t'es planté dans le calcul de ta dérivée sinon recherche sur le net cosinus hyperbolique ou sinus hyperbolique, ça pourra t'aider. ( désolé, DamX, je te laisse poursuivre)

kmikazi
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par kmikazi » 10 Juin 2013, 01:10

jlb a écrit:tu t'es planté dans le calcul de ta dérivée sinon recherche sur le net cosinus hyperbolique ou sinus hyperbolique, ça pourra t'aider. ( désolé, DamX, je te laisse poursuivre)


franchement j'ai regardeé sur wikipedia j'ai pas compris, tu poses x=b^-1(x)
apres tu dois developper dans l'egalité mais je sais pas comment

jlb
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par jlb » 10 Juin 2013, 01:21

"je trouve que (b^-1)'(x)=1/b'(x) = 1/s(x)" comment as-tu trouvé ce truc( pas juste)?

c'est plutôt (b^-1)'(x)=1/b'[b^-1(x)] = 1/s[b^-1(x)]" et après tu termines avec la question 9

puisque s²[b^-1(x)]=c²[b^-1(x)] - 1.

bonsoir, mais relis quand même ces articles ce sont les fonctions étudiées dans ton exercice+ qlq propriétés sympas.

kmikazi
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par kmikazi » 10 Juin 2013, 01:24

jlb a écrit:"je trouve que (b^-1)'(x)=1/b'(x) = 1/s(x)" comment as-tu trouvé ce truc( pas juste)?

ouais c'est faux en fait j'ai fait b(x)=c(x)

mais apres faut vraiment m'aider pour le calcul je suis paumé sachant que d'aprs les questions precedentes tu peux pas poser que b^-1(x)=ln(x+racine(x²+1))

jlb
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par jlb » 10 Juin 2013, 01:32

j'ai complété mon post précédent, c'est bon?

kmikazi
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par kmikazi » 10 Juin 2013, 01:37

jlb a écrit:j'ai complété mon post précédent, c'est bon?

nn je comprends tjrs pas, comment tu developpes pour trouver 1/racine(x²-1) c'est ça que je comprends pas c'est le developpement

jlb
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par jlb » 10 Juin 2013, 01:41

tu développes pas, tu utilises le fait que c(x)=b(x) et donc s²[b^-1(x)]=c²[b^-1(x)] - 1=(b(b^-1(x))² - 1 = x²-1

et après tu prends la racine carrée et tu remplaces dans l'expression.
( il y a des petits trucs pour justifier quand même)

kmikazi
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par kmikazi » 10 Juin 2013, 01:41

ça me saoule je comprends rien comment ut fais pour developper en sachant que l'on connait pas b^-1(x) et comment ça se fait que les exponentielles partent et qu'on a un x²

kmikazi
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par kmikazi » 10 Juin 2013, 01:45

jlb a écrit:tu développes pas, tu utilises le fait que c(x)=b(x) et donc s²[b^-1(x)]=c²[b^-1(x)] - 1=(b(b^-1(x))² - 1 = x²-1

et après tu prends la racine carrée et tu remplaces dans l'expression.
( il y a des petits trucs pour justifier quand même)


att pk b(b^-1(x))=x? c'est pas censé faire 1?

jlb
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par jlb » 10 Juin 2013, 01:46

b^-1 est la fonction réciproque de b donc b(b^-1(x))=x, tu utilises ça pour simplifier, oublie les expressions de départ sinon tu n'es pas prêt de "dessaouler"

NON b(b^-1)(x)=x!!

kmikazi
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par kmikazi » 10 Juin 2013, 01:53

jlb a écrit:b^-1 est la fonction réciproque de b donc b(b^-1(x))=x, tu utilises ça pour simplifier, oublie les expressions de départ sinon tu n'es pas prêt de "dessaouler"

NON b(b^-1)(x)=x!!


mais en fait x=b^-1(x) c'est ça?

kmikazi
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par kmikazi » 10 Juin 2013, 01:54

kmikazi a écrit:mais en fait x=b^-1(x) c'est ça?

ah nn j'ai rien dit

jlb
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par jlb » 10 Juin 2013, 01:55

kmikazi a écrit:mais en fait x=b^-1(x) c'est ça?

non, toujours pas c'est: x=b(b^-1(x))

en dérivant cette expression, tu as 1=b'(b^-1(x)).(b^-1)'(x) ce qui te donne la relation (b^-1)'(x)=1/b'(b^-1(x))=1/s(b^-1(x)) et après d'après la question 9, tu as

c²(b^-1(x))-s²(b^-1(x))=1 soit comme b(x)=c(x) , x²-s²(b^-1(x))=1 d'où s²(b^-1(x))=x²-1 soit

s(b^-1(x))=rac(x²-1) et après tu remplaces.

( il y a qlq justifications à donner mais tu as l'essentiel)

kmikazi
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par kmikazi » 10 Juin 2013, 01:57

jlb a écrit:non, toujours pas c'est: x=b(b^-1(x))

ok merci j'ai finalement compris.

DamX
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par DamX » 10 Juin 2013, 02:02

kmikazi a écrit:ok merci j'ai finalement compris.

Je reviens Apres la bataille un peu tard on dirait :)

jlb
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par jlb » 10 Juin 2013, 02:02

kmikazi a écrit:ok merci j'ai finalement compris.


j'ai tout repris dans le post précédent, trop tard :cry:

tu as eu du flair sur ce coup DamX :lol3:

 

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