Fonctions mesurables

[Aispor]

Bonjours,


Pour cet exercice j'ai réussis la question 2.
Pour la question 1 et 3 je ne vois pas quel argument il faut utiliser pour être rigoureux dans la démonstration

Merci d'avance !

[aviateur]

Bonjour
Pour le 1 c'est une évidence!
Pour le 3) grosso modo on fait comme ceci:

On fixe
On montre que la suite est croissante et c'est une suite d'entiers. Elle est donc convergente, la limite N(y) étant soit un nombre entier soit

Dans le premier cas, la suite est évidemment stationnaire et on choisit alors n assez grand tel que pour tout

Dans chaque intervalle de la forme il y a deux possibilités.
Ou bien f(x)=y n'a pas de solution ou bien f(x)=y a une et une seule solution. En effet si il y avait 2 solutions a et b alors en choisissant p tel que 1/2^p<|b-a| on aurait On en déduit alors que N(y) est le nbre de solution de l'équation f(x)=y.
Inversement si le nombre de solution de l'équation f(x)=y est un nombre fini, notons
les on choisit n assez grand tel alors on a pour tout p>q

[pascal16]

pour la 1.
On divise [0;1[ en 2^n intervalles de taille identique fermés à gauche et ouverts à droite.
le kiém intervalle classé par ordre croissant pour k allant de 1 à 2^n est [(k-1)/2^n; k/2^n[
par construction, c'est un recouvrement de [0;1[
si on change d'indice, on a bien ce qui est proposé.

[Aispor]

Merci d'avoir répondu.
Je n'avais pas pensé à distinguer les cas où le nombre de solutions est fini/infini pour la question 2. Ça m'a grandement aidé ! Merci