Fonctions mesurables

[simplet]

Bonjour,
J'aurais aimé savoir si la limite d'une suite de fonctions mesurables (positives) est forcément mesurable (positive)??

J'ai l'impression que c'est ce qu'admet l'énoncé de Beppo-Levi de mon livre, mais sans le dire explicitement.

On sait que toute fonction mesurable est limite croissante d'une famille de fonctions étagées. Puisque toute fonction étagée est mesurable alors toute fonction mesurable est limite d'une suite de fonctions mesurable; ok là?

Mais la réciproque??

mercii

[iZo]

Salut,
Dans un exo sur les équations différentielles, pour chercher une solution particulière, je trouve

f " (x) = 1 / (1+x²)^1/2

Donc f ' (x) = Arg sh x = ln ( x + (1+x²)^1/2 )

Mais là problème : comment trouver une primitive de cette fonction?

Merci d'avance

[busard_des_roseaux]

J'aurais aimé savoir si la limite d'une suite de fonctions mesurables est mesurable

oui.........

[Chimomo]

Tu as du voir que la limsup et la liminf d'une suite de fonctions mesurables était mesurable. or si la suite converge, c'est exactement que la limsup et la liminf sont égale, leur valeur commune étant la limite de la suite. Donc la limite d'une suite de fonctions mesurables est mesurable.

[simplet]

hum... oui en effet j'avais vu. Mais je trouvais ca un peu détourné d'être obligé de faire intervenir les limsup et liminf. On passe souvent par ces limites pour ce genre de raisonnements?? Un cheminement direct serait trop lourd?

en tout ca merci!!

[Chimomo]

En fait, les limsup et les liminf ont cela d'intéressant qu'on peut toujours les définir pour des suites positives. Ce sont donc des objets très intéressant pour étudier ces suites et qui servent par exemple pour le lemme de Fatou.

Cette démonstration n'est pas vraiment "indirecte" car elle reviens à encadrer la limite de la suite par et qui sont des fonctions mesurables.

Ceci dit je n'ai jamais vu d'autre démonstration mais ça ne veut pas dire que ce n'est pas faisable (bien qu'à mon avis ce soit relativement compliqué).