Limite de fonctions mesurables

[goba]

Bonjour à tous,

J'ai une question concernant les limites de fonctions mesurables.

Dans un espace métrique, j'ai lu dans plusieurs cours qu'on avait la mesurabilité de l'ensemble des points pour lesquels une suite de fonctions mesurables converge simplement lorsque l'espace est complet et séparable.

Ceci grâce à l'égalité suivante :


Où :
est une suite de fonctions mesurables d'un espace X dans un espace métrique E,
est une suite de point de E dense dans E.

La question que je me pose, c'est naturellement pourquoi on ne peut pas écrire directement :


En effet, la fonction de ExE dans R doit être continue, donc mesurable, et donc la fonction doit l'être aussi, ce qui rendrait la condition séparable inutile.
Si quelqu'un aurait la gentillesse de bien vouloir me montrer mon érreur je lui en serais très reconnaissant.

[busard_des_roseaux]

sans vouloir préjuger de la réponse, si l'on prend comme axiome
que toutes les fonctions de Rn dans Rn sont mesurables,
cet axiome n'est pas incompatible avec AC et ZF. Pourquoi dès lors se fatiguer à exhiber des fonction non mesurables (par exemple avec une forme coordonnée sur une base de Hamel) ?

pour (essayer de) répondre à ta question, la séparabilité est généralement utilisée pour avoir l'unicité de la limite. Sans elle, est multivaluée et ne définit donc pas une fonction.

[ThSQ]

la séparabilité est généralement utilisée pour avoir l'unicité de la limite

Je pense que tu confonds séparé et séparable busard des roseaux.

nawak

[goba]

Je ne suis pas d'accord avec toi busard_des_roseaux,
Premièrement, étant donné qu'il existe des ensembles non mesurables, il doit exister des fonctions non mesurables (par exemple leurs fonctions indicatrices).

Mais ce n'est pas le sujet, en effet je sais que la limite d'une suite de fonctions mesurables est mesurable, grâce à l'égalité qui est mesurable.

Il s'agit donc ici de déterminer la mesurabilité de l'ensemble des points pour lesquels la suite converge.

Comme le remarque ThSQ tu sembles confondre séparé et séparable. Il s'agit ici de la propriété séparable qui est en question.

ThSQ je ne suis pas sur de savoir de quel ensemble tu parles. Par exemple :
est mesurable, puisque est continue (1-lipschitzienne) donc mesurable, et donc est mesurable comme composée de fonctions mesurables. donc l'ensemble en question est mesurable comme image réciproque d'un borélien.

[busard_des_roseaux]

Je pense que tu confonds séparé et séparable busard des roseaux.

désolé. :hum:

[ThSQ]

Ouais t'as raison goba la séparabilité n'est pas utile du tout.

[goba]

Je vous remercie tous les deux pour vos contributions, ca me rassure un peu de voir que tu es d'accord ThSQ, même si j'aurais bien aimé savoir pourquoi le cours que j'ai lu est présenté comme ca.

[goba]

Je vous fais part de la résolution de cette énigme.

En fait mon raisonnement utilisait la mesurabilité de la composée des fonctions et .

L'érreur se situe dans le fait que cette première fonction est mesurable de dans où est la plus grande tribu rendant cette fonction mesurable.

Or notre deuxième fonction est mesurable de dans , cette première tribu étant la plus petite tribu rendant cette fonction mesurable.

Et on a l'inclusion .

Pour avoir la mesurabilité de la composée de ces fonctions, il faut bien entendu que la tribu intermédiaire de ExE soit la même dans les deux cas. Et en effet la séparabilité de E permet de démontrer l'inclusion inverse, et donc l'égalité de ces deux tribus.

Conclusion : Le cours avait raison ! (mais cette subtilité est malheuresement complètement occultée ...)