Suite d'applications mesurables et inf d'une suite de fonctions

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alex26
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suite d'applications mesurables et inf d'une suite de fonctions

par alex26 » 05 Avr 2008, 21:01

Bonjour,

dans mon cours je trouve qq chose de bizarre:

soit (fn) une suite de fonctions mesurables. Alors mon cours dit que l'application inf fn pour n appartenant à N (entiers naturels) est aussi mesurable.

Comment est définie la fonction inf fn ??

Plus loin j'ai le lemme de Fatou dans lequel mon prof parle de lim inf fn lorque n tend vers +infinity. Savez vous aussi comment est défini cette fonction lim inf ??

D'avance merci



ThSQ
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par ThSQ » 05 Avr 2008, 21:43

Le inf c'est tout simplement , c'est à valeur dans

La lim inf c'est un poil plus subtil, il y a plusieurs définitions équivalentes, celle que je trouve la plus claire c'est lim inf_n = la plus petite valeur d'adhérence (limite de suite extraite) de f_n(x). c'est à valeur dans aussi


(je suis sur que c'est dit dans ton cours mais bon :look_up: )

alex26
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par alex26 » 06 Avr 2008, 00:02

non c oas di ds mon cours et puis ca peut pas etre a valeur ds R :

les limites sont des fonctions ds mon cours

alex26
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par alex26 » 06 Avr 2008, 00:44

De plus je ne comprends pas ton inf_{n \in \mathbb{N}}(f(x)). Le inf n'a pas de sens vu que f ne dépend pas de n ? ?


Merci de ta réponse

ThSQ
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par ThSQ » 06 Avr 2008, 10:12

Ouais c'était le inf sur f_n bien sûr.

Le mieux c'est encore que tu lises ton cours (voire même que tu y ailles ;))

Maxmau
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par Maxmau » 06 Avr 2008, 10:21

alex26 a écrit:Bonjour,

dans mon cours je trouve qq chose de bizarre:

soit (fn) une suite de fonctions mesurables. Alors mon cours dit que l'application inf fn pour n appartenant à N (entiers naturels) est aussi mesurable.

Comment est définie la fonction inf fn ??

Plus loin j'ai le lemme de Fatou dans lequel mon prof parle de lim inf fn lorque n tend vers +infinity. Savez vous aussi comment est défini cette fonction lim inf ??

D'avance merci


An(x) = {fm(x) : m>= n}
;)n(x) = Inf An(x)
La suite (;)n) est croissante (;)n <= ;)n+1 )
Elle admet donc une limite
Par déf : limInf fn = lim ;)n

Rem : : limInf fn : il faut lire « limite inférieure de la suite (fn) » et non pas « limite de Inf fn » ce qui n’a d’ailleurs pas de sens puisque Inf fn ne dépend pas de n .
bon courage

alex26
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par alex26 » 06 Avr 2008, 12:56

ThSQ a écrit:Ouais c'était le inf sur f_n bien sûr.

Le mieux c'est encore que tu lises ton cours (voire même que tu y ailles ;))



j'y suis allé connard. Parle pas de ce que tu ne sais pas. mon prof pense juste que ceci est connu de la prépa. sauf que je ne l'avais pas fait. alors si tu sais pas tu évites de répondre.
Merci

alex26
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par alex26 » 06 Avr 2008, 12:57

Maxmau a écrit:An(x) = {fm(x) : m>= n}
;)n(x) = Inf An(x)
La suite (;)n) est croissante (;)n <= ;)n+1 )
Elle admet donc une limite
Par déf : limInf fn = lim ;)n

Rem : : limInf fn : il faut lire « limite inférieure de la suite (fn) » et non pas « limite de Inf fn » ce qui n’a d’ailleurs pas de sens puisque Inf fn ne dépend pas de n .
bon courage


La suite ;)n est croissante mais au sens de quel norme? car on parle de fonction. c'est pas aussi simple que ds R...
et comment tu défini Inf An(x) ? les An sont des fonctions. Dans mon cours le inf correspond à une fonction...

ThSQ
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par ThSQ » 06 Avr 2008, 13:39

alex26 a écrit:Merci


De rien :happy3:

Maxmau
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par Maxmau » 06 Avr 2008, 17:30

alex26 a écrit:La suite ;)n est croissante mais au sens de quel norme? car on parle de fonction. c'est pas aussi simple que ds R...
et comment tu défini Inf An(x) ? les An sont des fonctions. Dans mon cours le inf correspond à une fonction...


An(x) est une partie de R dépendant de n et x et composée des valeurs fm(x) telles que m >= n
;)n(x) est la borne inférieure de cette partie de R
;)n est donc une fonction réelle d’une variable réelle x
Pour tout x on a ;)n(x) <= ;)n+1 (x) . C’est en ce sens que la suite (;)n) est croissante

alex26
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par alex26 » 06 Avr 2008, 20:52

Maxmau a écrit:An(x) est une partie de R dépendant de n et x et composée des valeurs fm(x) telles que m >= n
;)n(x) est la borne inférieure de cette partie de R
;)n est donc une fonction réelle d’une variable réelle x
Pour tout x on a ;)n(x) <= ;)n+1 (x) . C’est en ce sens que la suite (;)n) est croissante



Ok merci j'ai compris.

 

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