Fonction de répartition

[zork]

Bonjour,

J'aimerai calculer la fonction de répartition de cette fonction:
f(x)= si x est dans [-a,0[
si x est dans [0,a]
0 sinon

Pour calculer la fonction de répartition dois je regarder les cas:
xa

du coup ma fonction de répartition serait diviser en "3 bouts"

est ce comme cela qu'il faut procéder?


merci de votre aide

[arnaud32]

oui c'est la bonne methode

[zork]

j'ai trouvé comme fonction de répartition:
f(x)=(b/a)x +b si x dans [-a,0[
(b/a)x -b si x dans [0,a]
0 sinon

mais quand je calcule E(X²) je trouve 0 et du coup ma variance est négative ce qui est faux

ou est l'erreur?

[zork]

un petit up car je trouve toujours pas l'erreur

[Luc]

un petit up car je trouve toujours pas l'erreur

Si le f de départ est la densité, il faut la primitiver pour obtenir la fonction de répartition, non?
Donc tu devrais obtenir un polynôme de degré 2.

[zork]

ah je suis désolé, je voulais pas dire fonction de répartition mais densité:

f(x)=(b/a)x +b si x dans [-a,0[
(b/a)x -b si x dans [0,a]
0 sinon


juste avant j'avais calculé la fonction de répartition puis dérivé pour trouver cette densité. Puis j'utilise ma densité trouvé pour avoir l'espérance E(X²).

Mais après ca coince car je trouve E(X²)=0

[Luc]

C'est normal que ta densité ne soit pas positive et que son intégrale ne vaut pas 1?

[zork]

oui l'erreur semble être là:
Pourtant je ne vois pas d'erreur, voici la fonction de répartition que j'ai trouvé:

F(x)= si x dans [-a,0[
si x dans [0,a]
0 sinon

[Luc]

oui l'erreur semble être là:
Pourtant je ne vois pas d'erreur, voici la fonction de répartition que j'ai trouvé:

F(x)= si x dans [-a,0[
si x dans [0,a]
0 sinon

C'est ta fonction de répartition pour x dans [0,a] qui ne va pas : elle n'est pas croissante, et elle ne tend pas vers 1.

[zork]

pourtant j'intègre (-b/a)x+b

et j'obtiens bien cela quand je refais les calculs

[Luc]

pourtant j'intègre (-b/a)x+b

et j'obtiens bien cela quand je refais les calculs

Je ne comprends pas : tu obtiens la densité en dérivant la fonction de répartition, que tu obtiens en intégrant la densité?
Quelle est la donnée du problème, et quelle est la quantité que tu calcules?

[zork]

J'ai d'abord cherché la fonction de répartition puisque l'énoncé me donne la densité.

Mais normalement en dérivant la fonction de répartition que j'ai trouvé je devrais retrouvé la densité mais en fait non

[Luc]

J'ai d'abord cherché la fonction de répartition puisque l'énoncé me donne la densité.

Mais normalement en dérivant la fonction de répartition que j'ai trouvé je devrais retrouvé la densité mais en fait non

Ok, tu as fait une erreur de signe dans la fonction de répartition pour x dans [0,a]
C'est
si x dans [0,a]

[zork]

si je dérive ce que tu donnes, je ne retrouve pas la densité dans [0,a] il devrait y avoir du (-b/a)x

[Luc]

si je dérive ce que tu donnes, je ne retrouve pas la densité dans [0,a] il devrait y avoir du (-b/a)x

Effectivement, l'expression de la fonction de répartition est F(x)=b/(2a)x^2+bx+ba/2 si x est dans [-a,0] et F(x)=-b/(2a)x^2+bx+1-ba/2 si x est dans [0,a].

Tu détermines les constantes en utilisant que F(-a)=0 et F(a)=1.
On remarque que nécessairement, ab=1 en exprimant la continuité de F en 0. Cela correspond au fait que l'intégrale de f doit valoir 1.

[zork]

d'accord merci