Fonction injective ou pas ?

[hervedo]

Bonjour à tous,

Voici le problème qui me pose bien des soucis...Soit la fonction f définie de |N^2\{...} dans |N telle que f(x,y)=y(y-1)/2+x pour x>y>=1. Je voudrais montrer que cette fonction est injective...mais en utilisant la définition f(x,y)=f(x',y')....j arrive à des choses très compliquées...Quelqu'un aurait il une idée ? J avais pensé à utiliser la jacobienne ou hessienne mais pas de succès à moins d une erreur de calcul quelque part...
Par avance, merci !

[Ben314]

Salut,

1) Utiliser la jacobienne (et la hessienne) pour une fonction dont l'ensemble de départ est discret, ç'est pas super malin :
Pour définir les dérivées partielles, il faut avoir la notion de limite, et dans N, faire "tendre" des nombres entiers vers un nombre entier, ç'est pas trés raisonable. (à la rigueur, on peut essayer avec des "dérivées discrète", c'est à dire en remplacant les f'(x) par des f(x+1)-f(x)).

2) Ta fonction telle qu'elle est définie (avec x>y>=1) n'est clairement pas injective : f(3,2)=4=f(4,1)

3) A mon avis, tu t'est gourré dans l'ensemble de définition de f et c'est pour les (x,y) tels que 0==y'.
On a alors :
car
car
donc ce qui, vu la croissance de sur , implique que c'est à dire que .
On a donc et il s'ensuit immédiatement que .

[hervedo]

Merci beaucoup. En effet, je me suis trompé en recopiant l'ensemble de définition x>y>=0 et pas 1. Quant à |N... au départ je regardais la fonction sur |R^2 ce qui explique la hessienne et la jacobienne...j ai voulu faire court pour expliquer ma démarche et de mes tentatives infructueuses...Merci encore pour ton aide Ben314.