Fonction de deux variables réelles : Maximum local VS Maximu

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Galoisif
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Fonction de deux variables réelles : Maximum local VS Maximu

par Galoisif » 23 Juil 2014, 15:30

Bonjour,

Avant toute chose, il est peut-être pertinent de préciser que je ne suis aucun cours de mathématiques, j'en fais simplement pour le plaisir. Je ne suis donc contraint par aucun "programme".

Je voudrais prouver:

"Pour tout (x,y) dans [0,Pi]², f(x,y) <= 9/4" avec :
i) 0<= (x+y) <= Pi
ii) f(x,y) = sin²(x) + sin²(y) + sin² (x+y)"

J'arrive à prouver que f(x,y) admet un maximum local en (Pi/3,Pi/3) (qui vaut f(Pi/3,Pi/3)=9/4) en utilisant le théorème des extrema pour les fonctions à deux variables trouvé au paragraphe 3/b de la page suivante:

http://www.math93.com/index.php/histoire-des-maths/analyse-a-plusieurs-variables-menu/144-extremums-des-fonctions-numeriques-de-plusieurs-variables-reelles

Il me semble que j'ai simplement prouvé que f(x,y) admet un maximum local (i.e. une information sur la courbure locale de sa représentation en 3D) mais pas que "Pour tout (x,y) dans [0,Pi]², f(x,y) <= 9/4"

Ma conclusion est-elle bonne ?
Si oui, comment "étendre" cette notion de maximum local à l'ensemble {(x,y) E [0,Pi]² | x+y<=Pi} ?
Si non, le théorème utilisé vaut-il pour des maxima globaux ?

En espérant avoir énoncé mes questions clairement et en vous remerciant par avance pour votre aimable aide,



arnaud32
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par arnaud32 » 23 Juil 2014, 16:03

il te reste a voir ce qui se passe sur la frontiere a savoir x=0 ou y=0 ou x+y=pi

Galoisif
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par Galoisif » 23 Juil 2014, 16:20

arnaud32 a écrit:il te reste a voir ce qui se passe sur la frontiere a savoir x=0 ou y=0 ou x+y=pi


Merci beaucoup pour votre réponse rapide. Voyons si j'y parviens:

x=0 => f(0,y) = 2sin²y
Pour tout y dans [0,Pi], 0 f(x,0) = 2sin²x
Pour tout x dans [0,Pi], 0 f(x,y) = sin²x + 0 + sin²y
Pour tout (x,y) dans {(x,y) E [0,Pi]² | x+y=Pi}, f(x,y) 9/4

---------------

Si j'ai bien compris, la démonstration est terminée. En conclusion, si l'on veut prouver que f:(x,y) -> z est majorée sur un ensemble E, il faut et il suffit de prouver que :
i) f admet un maximum local M dont le couple antécédent par f appartient à E (avec la méthode sus-citée)
ii) Il n'existe aucun (x,y) appartenant à la frontière de E tel que f(x,y) > M

Est-ce bien cela ?

arnaud32
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par arnaud32 » 23 Juil 2014, 16:30

x=0 => f(0,y) = 2sin²y
Pour tout y dans [0,Pi], 0<= 2sin²y<=2<9/4

Galoisif
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par Galoisif » 23 Juil 2014, 16:33

Aïe, aïe, aïe la vilaine faute. Merci pour votre vigilance.

arnaud32
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par arnaud32 » 23 Juil 2014, 16:41

tu distingue en effet ce qui se passe sur l'interrieur de l'ensemble de definition de ce qui se passe sur E-int(E)
mais il se peut tres bien que tu aies un, ou des maximas locaux a l'interieur de E mais que la maximum global soit sur E-int(E)

Skullkid
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par Skullkid » 23 Juil 2014, 16:56

Bonjour, pour compléter ce que dit arnaud32, la propriété à la base de l'exercice est : "si f différentiable admet un extremum local sur l'intérieur de son domaine, alors cet extremum est un point critique (c'est-à-dire que le gradient de f s'annule en ce point)".

D'où la méthode de base de recherche d'extremums : on cherche les points critiques qui sont à l'intérieur du domaine, on regarde lesquels d'entre eux sont des extremums locaux, puis on regarde ce qui se passe à la frontière du domaine pour juger du caractère local ou global et éventuellement trouver d'autres extremums.

Galoisif
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par Galoisif » 23 Juil 2014, 17:04

Il me semble que grâce à vos réponses, j'ai compris à présent. Merci une nouvelle fois :) !

 

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