Bonjour,
Avant toute chose, il est peut-être pertinent de préciser que je ne suis aucun cours de mathématiques, j'en fais simplement pour le plaisir. Je ne suis donc contraint par aucun "programme".
Je voudrais prouver:
"Pour tout (x,y) dans [0,Pi]², f(x,y) <= 9/4" avec :
i) 0<= (x+y) <= Pi
ii) f(x,y) = sin²(x) + sin²(y) + sin² (x+y)"
J'arrive à prouver que f(x,y) admet un maximum local en (Pi/3,Pi/3) (qui vaut f(Pi/3,Pi/3)=9/4) en utilisant le théorème des extrema pour les fonctions à deux variables trouvé au paragraphe 3/b de la page suivante:
http://www.math93.com/index.php/histoire-des-maths/analyse-a-plusieurs-variables-menu/144-extremums-des-fonctions-numeriques-de-plusieurs-variables-reelles
Il me semble que j'ai simplement prouvé que f(x,y) admet un maximum local (i.e. une information sur la courbure locale de sa représentation en 3D) mais pas que "Pour tout (x,y) dans [0,Pi]², f(x,y) <= 9/4"
Ma conclusion est-elle bonne ?
Si oui, comment "étendre" cette notion de maximum local à l'ensemble {(x,y) E [0,Pi]² | x+y<=Pi} ?
Si non, le théorème utilisé vaut-il pour des maxima globaux ?
En espérant avoir énoncé mes questions clairement et en vous remerciant par avance pour votre aimable aide,