Fonction définie par une intégrale

[Pythix]

Bonjour,
il faut que j'étudie la fonction f définie par

domaine, parité, dérivée ca va mais je ne vois pas pour les limites!

Merci d'avance

[fahr451]

qd x->0+ 2x aussi et t coincé entre x et 2x aussi donc

cost /t est peu différent de 1/t

en posant g(x) = intégrale de x à 2x 1/t on a g(x) = ln 2x -ln x = ln 2


et g(x) - f(x) = intégrale de x à 2x (1-cost) /t dt

or h(t) = (1-cost) /t tend vers 0 en 0 donc en posant h(0) = 0 h devient continue sur R et admet une primitive H sur R

g(x)-f(x) = H(2x) -H(x) ->0 donc lim f(x) = ln 2
idem en 0-

en + infini une IPP est la bienvenue

[Pythix]

par contre je rencontre un problème avec le tableau de variations, on a
f'(x)=[cos(2x)-cos(x)]/x le numérateur s'annule en 0, -2pi/3 et 2pi/3 [2pi] il y a une période mais avec le dénominateur...

[fahr451]

par contre tu n 'as pas lu la réponse à la question que tu avais posée?

[Pythix]

pour l'intégration par partie ?

[fahr451]

qd x->0+ 2x aussi et t coincé entre x et 2x aussi donc

cost /t est peu différent de 1/t

en posant g(x) = intégrale de x à 2x 1/t on a g(x) = ln 2x -ln x = ln 2


et g(x) - f(x) = intégrale de x à 2x (1-cost) /t dt

or h(t) = (1-cost) /t tend vers 0 en 0 donc en posant h(0) = 0 h devient continue sur R et admet une primitive H sur R

g(x)-f(x) = H(2x) -H(x) ->0 donc lim f(x) = ln 2
idem en 0-

en + infini une IPP est la bienvenue

j'appelle ça une réponse DETAILLEE

[Pythix]

oui, désolé, je n'ai pas compris une chose pourquoi on peut poser h(0)=0?
mais je ne vois pas comment représenter les variations dans un tableau...

[fahr451]

1-cost équivaut à t^2/2 donc h (t) équivaut à t/2 et tend donc vers 0 en 0
pour les variations les représenter sur un intervalle [2kpi, (2k+2)pi] k fixé

[Pythix]

ok j'avais pris -pi,pi et je savais pas comment introduire mes limites en + et - l'infini