Continuité d'une fonction définie par une intégrale

[pringuez]

Bonjour,

Soit une fonction continue par morceaux sur .

La fonction est-elle continue sur ?

Merci d'avance.

[GaBuZoMeu]

Il suffit de se poser la question sur chacun des morceaux.

[tournesol]

On peut déduire beaucoup de ce résultat général selon si f est bornée ou localement bornée .

[pringuez]

Merci pour vos réponses.
Si pour simplifier, on suppose que admet un unique point de discontinuité , alors, on de manière évidente que est continue sur (elle y est même dérivable).
Mais quid de la continuité en ?

En fait, si je pose cette question, c'est à cause de la preuve suivante :
Je cherche à montrer que l'indice d'un point par rapport à un lacet , défini par est un entier.
(On appelle lacet une application de classe par morceaux et telle que et on suppose que .)
Pour cela, on note l'ensemble (fini) des points de où n'est pas et on définit la fonction .
On a alors, pour , et donc, après calcul, la fonction définie par est de dérivée nulle sur , donc constante sur et, par suite, constante sur .
C'est ce dernier passage que je ne comprends pas...
Si l'on savait que était continue sur tout entier, on pourrait conclure. Mais là, on n'a a priori la continuité que sur ...
Imaginons par exemple que avec .
Pourquoi ne peut-on pas avoir (constante) sur et (autre constante) sur ? Pourquoi a-t-on nécessairement et ?

[tournesol]

tu n'as pas perçu les conséquences de l'inégalité bien connue que je t'ai rappelé .
Toute fonction définie par l'intégrale d'une fonction bornée sur un domaine D est lipschitzienne sur D , donc uniformément continue sur D , donc continue sur D . Ta fonction gamma qui est continue par morceaux est bornée sur [0;1] , et donc psi est continue sur [0;1] . Si elle vaut a sur ]u,v[ et b sur ]v,w[ sa limite en v- est a et sa limite en v+ est b , et comme elle est continue en v , ces deux limites sont égales et a=b .