Ensemble de définition d une fonction définie par une intégrale

[georgets555]

salut
j aime bien savoir comment déterminer dans le cas générale ensemble de définition d une fonction définie par une intégrale
et son ensemble de dérivabilité

Soit K une fonction définie par une intégrale et f la fonction a intégrer
Soit f une fonction continue sur intervalle I et les bornes g une fonction dérivable sur un intervalle J et g une fonction dérivable sur un intervalle E

K(x)= intégrale de f(t)dt entre h(x) et g(x)
1) Déterminer l ensemble de définition de la fonction K
2) Déterminer l ensemble de dérivabilité de la fonction K
3) Application prendre f(t)=1/t²-1 g(x)=tan x h(x)=racine(x²-2)

merci

[chombier]

salut
j aime bien savoir comment déterminer dans le cas générale ensemble de définition d une fonction définie par une intégrale
et son ensemble de dérivabilité

Soit K une fonction définie par une intégrale et f la fonction a intégrer
Soit f une fonction continue sur intervalle I et les bornes g une fonction dérivable sur un intervalle J et g une fonction dérivable sur un intervalle E

K(x)= intégrale de f(t)dt entre h(x) et g(x)
1) Déterminer l ensemble de définition de la fonction K
2) Déterminer l ensemble de dérivabilité de la fonction K
3) Application prendre f(t)=1/t²-1 g(x)=tan x h(x)=racine(x²-2)

merci

Réponse rapide : F est continue sur I donc intégrable sur I

K(x)=F(g(x))-F(h(x)) est définie en x uniquement si :
- x est dans l'ensemble de définition de g, i.e. x est dans J
- x est dans l'ensemble de définition de h, i.e. x es dans E
- g(x) et h(x) sont dans I

Cela dépends donc aussi des valeurs de g et h

Si g et h sont à valeurs dans I, alors K est définie sur J inter E

[georgets555]

salut chombier

si possible de me donner plus d explications
pourquoi
Si g et h sont à valeurs dans I, alors K est définie sur J inter E
si possible de me donner plus d explication
et pour l ensemble de dérivabilité

Application prendre f(t)=1/t²-1 g(x)=tan x h(x)=racine(x²-2)

merci bien

[chombier]

salut chombier

si possible de me donner plus d explications
pourquoi
Si g et h sont à valeurs dans I, alors K est définie sur J inter E
si possible de me donner plus d explication
et pour l ensemble de dérivabilité

Application prendre f(t)=1/t²-1 g(x)=tan x h(x)=racine(x²-2)

merci bien

Pour calculer ton intégrale,
- il faut calculer g(x), donc x doit être dans J
- il faut calculer h(x), donc x doit être dans E
- il faut intégrer f(x) entre g(x) et h(x) donc g(x) et h(x) doivent être dans I

Pour ton intégrale, il faut que
1- g soit définie en x, donc x différent de pi/2 modulo pi :
2- h soit définie en x, donc x>=racine(2) ou x<=racine(2)
(Tu vois bien que si x=pi/2 ou x=0, ton intégrale n'est pas définie puisque ses bornes ne le sont pas).
3- il faut ensuite que f soit intégrable (disons, continue, et en l'occurence définie) sur [g(x), h(x)]


Autrement dit que g(x) et h(x) appartiennent simultanément à l'un des trois intervalles ]-infini ; -1[, ]-1; 1[ ou ]1;+infini[

Il faut donc étudier les fonction g et h (sens de variations), et bosser un peu !!

[georgets555]

salut chombier
merci pour votre aide

svp j aime que tu me vérifié ma démarche
1er) j ai essayé de résumer la méthode si possible de la rectifier de la compléter
2em) j ai étudier les variations des deux bornes mais je n arrive pas a l exploiter
svp détailler moi la suite pour que je puisse comprendre le cas générale
3) comment déterminer le domaine de dérivabilité dans le cas générale et dans notre exemple

algorithme de recherche de l ensemble de définition
méthode et étape de recherche
Pour calculer cette intégrale,
1) il faut calculer g(x), donc x doit être dans J
2 il faut calculer h(x), donc x doit être dans E
donc x appartient a un intervalle W= J intersection E

3) il faut intégrer f(x) entre g(x) et h(x) donc g(x) et h(x) doivent être dans I
g(x)<=f(x)<=h(x) ou h(x)<=f(x)<=g(x)
méthode étude du sens de variations les fonction g et h

application

Pour ton intégrale, il faut que
1- g soit définie en x, donc x différent de pi/2 modulo pi :
2- h soit définie en x, donc x>=+racine(2) ou x<= -racine(2)
(Tu vois bien que si x=pi/2 ou x=0, ton intégrale n'est pas définie puisque ses bornes ne le sont pas).
pour x=+racine(2) et x=- racine(2)
3- il faut ensuite que f soit intégrable (disons, continue, et en l’occurrence définie) sur [g(x), h(x)]

méthode étude du sens de variations les fonction g et h

Autrement dit que g(x) et h(x) appartiennent simultanément à l'un des trois intervalles ]-infini ; -1[, ]-1; 1[ ou ]1;+infini[

étude des variations

h(x)=racine ( x²-2)
h est définie sur ]-infini ; -racine 2] u [+racine 2;+infini[
h est dérivable sur ]-infini ; -racine 2[ u ]+racine 2;+infini[
h'(x)= x/racine(x²-2)
h est décroissante sur ]-infini ; -racine 2[
h est croissante sur ]+racine 2;+infini[

pour la fonction g
g(x)=tan x
g est définie sur IR- pi/2+kpi
g est dérivable sur IR- pi/2+kpi
g'(x)=1+t²anx
g est strictement croissante sur chaque intervalle de la forme ]-pi/2+kpi; pi/2+kpi[

mais je n arrive a l utiliser

merci

[georgets555]

salut chombier
svp vérifier moi ma réponse et donner moi vous remarques et une réponse

merci

[chombier]

salut chombier
svp vérifier moi ma réponse et donner moi vous remarques et une réponse

merci

georgets555 je suis désolé de ne pas avoir répondu plus tôt.

Quand j'aurais corrigé mes 90 copies et que j'aurais passé mon oral de capes, promis je te ferait ton exercice.

A très bientôt,
chombier

[georgets555]

salut chombier
bonne chance pour l examen du capes
merci pour votre réponse