Convergence d'une fonction définie par une intégrale.
Réponses à toutes vos questions après le Bac (Fac, Prépa, etc.)
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Anonyme
par Anonyme » 11 Mar 2006, 17:28
Bonjour, je coince sur le problème suivant.
On me demande :
si a et b sont 2 réels vérifiant aI=intégrale de a à b de f(x).sin(nx) dx (pour n appartenant à N) converge vers 0.
Bon on me dit d'intégrer par parties, donc je pose u=f(x) et v'=sin(nx)
et je trouve :
I=(1/n)[-f(b)cos(nb) + f(a)cos(na) + intégrale de a à b de f'(x).cos(nx)dx]
et puis ?
Merci de votre aide.
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El_Gato
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par El_Gato » 11 Mar 2006, 17:51
Salut,
Eh bien ca y'est tu as fini la preuve: majore les cosinus par 1 et f' dans l'intégrale par son sup sur [a,b]. C'est le 1/n que tu as mis en premier qui conduit tout çà vers 0:
Considérons
, pour faire plus simple.
On a :
et
.
Donc
où
et
sont respectivements les Sup de f et de sa dérivée sur [a,b], sup qui existent puisque f est supposée de classe
sur [a,b].
Donc:
.
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