Convergence d'une fonction définie par une intégrale.

[Anonyme]

Bonjour, je coince sur le problème suivant.
On me demande :
si a et b sont 2 réels vérifiant aI=intégrale de a à b de f(x).sin(nx) dx (pour n appartenant à N) converge vers 0.

Bon on me dit d'intégrer par parties, donc je pose u=f(x) et v'=sin(nx)
et je trouve :
I=(1/n)[-f(b)cos(nb) + f(a)cos(na) + intégrale de a à b de f'(x).cos(nx)dx]

et puis ?
Merci de votre aide.

[El_Gato]

Salut,

Eh bien ca y'est tu as fini la preuve: majore les cosinus par 1 et f' dans l'intégrale par son sup sur [a,b]. C'est le 1/n que tu as mis en premier qui conduit tout çà vers 0:

Considérons
, pour faire plus simple.
On a : et


.

Donc


où et sont respectivements les Sup de f et de sa dérivée sur [a,b], sup qui existent puisque f est supposée de classe sur [a,b].

Donc: .