[MPSI] fonction a construire

par **Anonyme** » 30 Avr 2005, 17:18

Bonjour,

Existe-t-il une fonction [0,1] -> [0,1] tel que qqs ainclus dans [0,1] alors f([a,b]) = [0,1] ?

J'ai l'impression qu'il faut utiliser des résultats de densité
d'ensembles dans un autre, mais je n'ai aucune autre idée.

Merci.
--
Michel [overdose@alussinan.org]

par **Anonyme** » 30 Avr 2005, 17:18

> Existe-t-il une fonction [0,1] -> [0,1] tel que qqs a inclus dans [0,1] alors f([a,b]) = [0,1] ?
>
> J'ai l'impression qu'il faut utiliser des résultats de densité
> d'ensembles dans un autre, mais je n'ai aucune autre idée.[/color]

Il y a moyen de s'en sortir en munissant [0,1] de la relation d'équivalence
x~y ssi y-x rationnel. L'ensemble des classes d'équivalence me semble bien
être équipotent à [0,1], d'où ta fonction en la prenant constante sur chaque
classe (car tout intervalle non trivial contiendra au moins un élément de
chaque classe).

--
Maxi

par **Anonyme** » 30 Avr 2005, 17:18

> Existe-t-il une fonction [0,1] -> [0,1] tel que qqs a inclus dans [0,1] alors f([a,b]) = [0,1] ?[/color]

Tu prends un réel A en écriture décimale, et tu lui associes le
réel suivant:

-si seul un nombre fini des décimales sont des 0 et des 1, f(A)=1.

-s'il y a un nombre infini de 0 et de 1 tu rayes tous les chiffres
différents, et redécales tout vers la gauche, et interprètes en binaire le
nombre obtenu.

exemples:

f(0.012345012345012345012345...)=[0.010101010101...] ([.] désigne un
nombre écrit en binaire)

f(0.012002012002012002012002...)=[0.0100010001000100...]

Exercice: f répond bien à ta question.

Contrairement à l'autre exemple donné avec les réels module les
rationnels (qui marche très bien sous réserve de l'axiome du choix), cet
exemple est totalement explicite (et, pour ceux qui connaissent, donne une
fonction mesurable).

--
Yves

par **Anonyme** » 30 Avr 2005, 17:18

Michel , dans le message (fr.education.entraide.maths:56367), a écrit :

> Existe-t-il une fonction [0,1] -> [0,1] tel que qqs a inclus dans [0,1] alors f([a,b]) = [0,1] ?

Soit A un réel en écriture décimale.

On lui associe le nombre f(A) en écriture binaire de telle
façon le n-ième chiffre après la virgule soit 1 ss'il existe une
infinité de n-séquences de 1 dans l'écriture décimale de A (déf
ci-dessous).

Définition: une n-séquence de 1 est une suite de n chiffres 1 consécutifs,
maximale (i.e. non contenue dans une suite de n+1 chiffers 1 consécutifs).

Exercice: f répond bien à ta question.

Contrairement à l'autre exemple donné avec les réels module les
rationnels (qui marche très bien sous réserve de l'axiome du choix), cet
exemple est totalement explicite (et, pour ceux qui connaissent, donne une
fonction mesurable).

--
Yves

par **Anonyme** » 30 Avr 2005, 17:18

> Contrairement à l'autre exemple donné avec les réels module les
> rationnels

Je n'ai pas vu cette réponse... C'est normal ?

Vincent

par **Anonyme** » 30 Avr 2005, 17:18

"Vincent M" , dans le message (fr.education.entraide.maths:56383), a
écrit :[color=green]
>> Contrairement à l'autre exemple donné avec les réels module les
>> rationnels
> Je n'ai pas vu cette réponse... C'est normal ?[/color]

Je parle de la réponse de "Maxi"... sur les réels modulO les rationnels
(désolé pour la faute de frappe).

--
Yves

par **Anonyme** » 30 Avr 2005, 17:18

> Je parle de la réponse de "Maxi"... sur les réels modulO les rationnels
> (désolé pour la faute de frappe).

Je ne pêux pas la voir de nom compte de newsgroup.
Pourriez vous SVP me la reposter en copie (evlt par mail) :
vincent@alussinan.org

Merci,
Vincent

par **Anonyme** » 30 Avr 2005, 17:18

> Je ne pêux pas la voir de nom compte de newsgroup.
> Pourriez vous SVP me la reposter en copie (evlt par mail) :
> vincent@alussinan.org

Réponse à: Michel [56367]
Auteur: "Maxi"
Date: Mon Jun 7 19:44:01 2004
Sujet: Re: [MPSI] fonction a construire

> Existe-t-il une fonction [0,1] -> [0,1] tel que qqs a inclus dans [0,1] alors f([a,b]) = [0,1] ?
>
> J'ai l'impression qu'il faut utiliser des résultats de densité
> d'ensembles dans un autre, mais je n'ai aucune autre idée.

Il y a moyen de s'en sortir en munissant [0,1] de la relation
d'équivalence
x~y ssi y-x rationnel. L'ensemble des classes d'équivalence me semble bien
être équipotent à [0,1], d'où ta fonction en la prenant constante sur
chaque
classe (car tout intervalle non trivial contiendra au moins un élément de
chaque classe).

--
Maxi

par **Anonyme** » 30 Avr 2005, 17:18

Vincent M a écrit :
>[color=green]
> > Je parle de la réponse de "Maxi"... sur les réels modulO les rationnels
> > (désolé pour la faute de frappe).
>
> Je ne pêux pas la voir de nom compte de newsgroup.
> Pourriez vous SVP me la reposter en copie (evlt par mail) :
> vincent@alussinan.org[/color]

http://groups.google.com/ est ton ami pour ce genre de problème (après
quelques heures le temps que la base de donnée se mette à jour)

--
Nico.