Fiche de revision Espaces vectoriel normés d'un MP*. Point n

[xavierm02]

Bonjour,

Je n'ai pas (assez) fait de fiches de revisions pendant mes deux annees de prepa donc j'utilise celles de quelqu'un d'autre : http://evarin.fr/mathsFiches/spe/Chap1.pdf

Et etant en MP et lui ayant ete en MP*, il y a des trucs que je n'ai pas vu mais je comprends a peu pres tout. Mais il y a deux trucs que je n'arrive pas a comprendre :

A la fin de la page 3, il parle de Cesaro et il impose que alpha_k -> +oo alors que moi j'ai vu ce resultat avec alpha_k = 1, ce qui me semble etre un resultat plus fort... En quoi je me trompe ?

Et apres le rectangle just en dessous, a part qu'il utilise Cauchy-Schwarz, je comprends a peu pres rien... Pourriez-vous m'eclairer ?

Merci d'avance.

[adrien69]

Salut,
Il se trompe tout simplement pour ce qui est du théorème de césaro.

Je ne veux pas dire de bêtises, donc je vais utiliser des hypothèses peut-être non optimales, mais déjà plus faibles que celles que tu as, mais si tu as une suite qui tend vers L et une suite de réels positifs positifs dont la somme vaut plus l'infini, alors tend vers L quand je dis non optimal c'est que je ne suis pas sûr qu'on ait besoin de l'hypothèse de positivité. Je t'invite à le redémontrer.

C'est sûrement ce qu'il a voulu dire.

Pour la suite c'est un raisonnement assez fin qui ne peut tomber qu'à l'X-ENS de façon non guidée. Oublie, y a pas grand intérêt.

[xavierm02]

Ok merci.

Mais justement, je passe le concours ens a partir de demain, sans grand espoir mais bon...
Tu pourrais detailler un peu pour le deuxieme truc stp?

[adrien69]

Pour la première partie, de la seconde fiche. Tu passes au logarithme sur le quotient, c'est la différence des logarithmes. Tu appelles ça u_n. Comme le quotient était croissant, positif majoré, u_n admet une limite, et pour la trouver tu regardes la moyenne de Césaro (u_n converge donc elle converge en moyenne de Césaro) ou un truc du genre (ses fiches sont vraiment exoéditives, déjà que je ne vois pas l'intérêt d'une fiche alors les siennes...). À retenir : on montre que la suite converge, puis on peut pour trouver la limite essayer de trouver la limite de Césaro qui est la même.

Pour la seconde partie, il suffit de montrer que si la suite u_n/n est bornée elle est de Cauchy, et que sinon elle dégage en - l'infini. Bon courage pour demain. Tu verras c'est pas si dur que ça.