Factorisation

par **capitaine nuggets** » 04 Oct 2014, 22:58

Bnojour, je bloque sur le problème suivant :
On a un groupe

et on pose

et on écrit

ses éléments i.e.

.
On suppose de plus que

(distinction du groupe

dans

) et

est commutatif.
Je bloque totalement à la première question : On demande de prouver que si

est un sous-groupe dans

vérifiant

est commutatif, alors

.
Merci d'avance pour toute proposition :+++:

par **Doraki** » 05 Oct 2014, 00:58

le Dg tel que tu l'as défini n'est généralement pas un groupe.
Tu as du oublier "le sous-groupe de G engendré par ..." quelquepart non ?

Pour la première question, ça veut dire quoi que G/H est commutatif ?

par **capitaine nuggets** » 05 Oct 2014, 14:33

Doraki a écrit:le Dg tel que tu l'as défini n'est généralement pas un groupe.
Tu as du oublier "le sous-groupe de G engendré par ..." quelquepart non ?

Pour la première question, ça veut dire quoi que G/H est commutatif ?

Oui, j'ai mal interpréter l'énoncé de mon exo :

est le sous-groupe de

engendré par les éléments

,

.

Si G/H est commutatif, alors pour

.

par **Doraki** » 05 Oct 2014, 15:43

Déroule encore les définitions

En termes d'éléments de G et de H (pas en termes de classes), quand est-ce que G/H est commutatif ?

par **capitaine nuggets** » 05 Oct 2014, 16:56

Doraki a écrit:Déroule encore les définitions

En termes d'éléments de G et de H (pas en termes de classes), quand est-ce que G/H est commutatif ?

Cela revient à dire que G et H sont abéliens

par **Doraki** » 05 Oct 2014, 17:27

Mais tu dis n'importe quoi.

(la classe de x) * (la classe de y), c'est la classe de qui ? c'est quoi la définition du produit de 2 classes ?

classes de u = classe de v, ça veut dire quoi ? pour u et v, quand est-ce que leurs classes sont égales ?

par **Ben314** » 05 Oct 2014, 17:48

Petite remarque :

capitaine nuggets a écrit:On suppose de plus que (distinction du groupe dans ) et est commutatif.

Je sais pas si tu as lu l'énoncé correctement, mais ça m'étonne qu'on te dise qu'on SUPPOSE ces deux trucs.
Ça serait pas plutôt "montrer que" à la place ?
(de commencer par ça, ça t'aiderais peut-être à mieux comprendre la notion de groupe dérivé)

par **capitaine nuggets** » 05 Oct 2014, 19:01

Doraki a écrit:Mais tu dis n'importe quoi.

(la classe de x) * (la classe de y), c'est la classe de qui ? c'est quoi la définition du produit de 2 classes ?

classes de u = classe de v, ça veut dire quoi ? pour u et v, quand est-ce que leurs classes sont égales ?

la classe de (la classe de x) * (la classe de y) est la classe de x*y

Deux classes sont égales ssi elles ont même ensemble de représentant ou encore ssi tout élément de la classe de u est en rellation avec tout élément de la classe de v

par **capitaine nuggets** » 05 Oct 2014, 19:02

Ben314 a écrit:Petite remarque : Je sais pas si tu as lu l'énoncé correctement, mais ça m'étonne qu'on te dise qu'on SUPPOSE ces deux trucs.
Ça serait pas plutôt "montrer que" à la place ?
(de commencer par ça, ça t'aiderais peut-être à mieux comprendre la notion de groupe dérivé)

Le problème à été raccourcis d'après notre prof.
J'ai déjà du mal à comprendre la signification de sous-groupe distingué...

par **Ben314** » 06 Oct 2014, 07:32

- Lorsque l'on fait l'on parle de quotient d'un ensemble, c'est systématiquement du quotient par une relation d'équivalence dont on parle. Si G est un groupe et H un sous groupe, il y a deux façons (en général différentes) de définir une relation d'équivalence sur G à l'aide du sous groupe H :
a) Soit on considère la relation

: vérifie que c'est bien une relation d'équivalence puis montre que la classe d'un g de G pour cette relation est en fait l'ensemble gH (=ensemble des éléments de la forme gh avec h dans H).
b) Soit on considère la relation

: vérifie que c'est bien une relation d'équivalence puis montre que la classe d'un g de G pour cette relation est en fait l'ensemble Hg (=ensemble des éléments de la forme hg avec h dans H)

- Un sous groupe distingué H de G, c'est un sous groupe tel que, pour tout h de H et g de G, l'élément

soit lui même dans H. Cela équivaut à dire (montre le) que, les relations

et

sont les même, c'est à dire que, pour tout g de G, l'ensemble gH est le même que l'ensemble Hg. Dans ce cas (et uniquement dans ce cas), on peut montrer que le produit d'un élément de gH=Hg par un élément de g'H=Hg' (avec g,g' dans G) est un élément de (gg')H et cela permet de définir un produit sur l'ensemble des classes en posant (par définition)

. Muni de ce produit, l'ensemble des classes est un groupe noté G/H.

par **capitaine nuggets** » 08 Oct 2014, 20:52

Ben314 a écrit:Petite remarque : Je sais pas si tu as lu l'énoncé correctement, mais ça m'étonne qu'on te dise qu'on SUPPOSE ces deux trucs.
Ça serait pas plutôt "montrer que" à la place ?
(de commencer par ça, ça t'aiderais peut-être à mieux comprendre la notion de groupe dérivé)

Salut !

Alors j'ai montré ce que tu m'as suggéré de prouver. Je n'ai pas eu de problème pour montrer que

, toutefois, j'ai l'impression d'avoir fait trop de chose pour montrer que

est commutatif. Voici comment je l'ai prouvé :

est abélien ssi

,

.
Or

.
Donc

par **capitaine nuggets** » 08 Oct 2014, 20:58

Ben314 a écrit:Petite remarque : Je sais pas si tu as lu l'énoncé correctement, mais ça m'étonne qu'on te dise qu'on SUPPOSE ces deux trucs.
Ça serait pas plutôt "montrer que" à la place ?
(de commencer par ça, ça t'aiderais peut-être à mieux comprendre la notion de groupe dérivé)

Salut !

Alors j'ai montré ce que tu m'as suggéré de prouver. Je n'ai pas eu de problème pour montrer que

, toutefois, j'ai l'impression d'avoir fait trop de chose pour montrer que

est commutatif. Voici comment je l'ai prouvé :

est abélien ssi

,

.
Or

.
Donc

Ensuite, j'ai dit que

ssi

.
Enfin, en posant

et

, [X,Y]=1 ssi

d'où

.

Mais je me demande si on pourrais pas faire plus simple...

par **Doraki** » 09 Oct 2014, 08:19

capitaine nuggets a écrit:
.

faux, Dg n'est pas l'ensemble des commutateurs, mais le sous-groupe engendré par les commutateurs.

La 1ère égalité est fausse pour la même raison, la deuxième est complètement absurde, il y a juste AUCUN rapport.

Montrer que G/DG est abélien est exactement aussi dur de montrer que G/H est abélien H contient DG.

Il suffit de traduire ce que veut dire "G/H est abélien" en termes d'éléments de G et de H, de faire la même chose avec "H contient les commutateurs", et de voir que c'est pareil.

par **capitaine nuggets** » 09 Oct 2014, 12:37

Ok, voici donc un nouvelle tentative en utilisant tes indications :

On sait que

est normal dans

.
Considérons la surjection canonique

et

deux éléments de

avec

. Ensuite

, on a

où

désigne le neutre de

.
Comme

est un morphisme surjectif, on a :

.
D'où

est abélien.

Ai-je bon ?

par **Ben314** » 09 Oct 2014, 14:42

oui.
Sauf dans "comme pi est un morphisme surjectif on a ..." où le mot "surjectif" ne sert à rien.
Il te sert au départ lorsque tu écrit "Soient pi(g) et pi(g') deux éléments de G/DG..."

par **capitaine nuggets** » 09 Oct 2014, 15:10

Ben314 a écrit:oui.
Sauf dans "comme pi est un morphisme surjectif on a ..." où le mot "surjectif" ne sert à rien.
Il te sert au départ lorsque tu écrit "Soient pi(g) et pi(g') deux éléments de G/DG..."

Ok, merci :++:
Du coup, je vais réfléchir à la question initialement posée et je te tiens au courant si ca coince.
:+++:

par **Ben314** » 09 Oct 2014, 15:17

Tu recopie ta preuve çi dessus en remplaçant Dg par H et tu obtient directement que :
G/H est commutatif ssi H contient tout les commutateurs [g,g']
Et comme DG est (par définition) le plus petit sous groupe contenant tout les commutateurs, c'est équivalent à dire que H contient DG.

par **capitaine nuggets** » 09 Oct 2014, 15:29

Ben314 a écrit:Tu recopie ta preuve çi dessus en remplaçant Dg par H et tu obtient directement que :
G/H est commutatif ssi H contient tout les commutateurs [g,g']
Et comme DG est (par définition) le plus petit sous groupe contenant tout les commutateurs, c'est équivalent à dire que H contient DG.

Oui, c'est ce que je viens de voir : les raisonnement sont assez analogues car en fait, le plus gros vient d'être fait.
Par contre, la dernière question me bloque : on montrer que quel que soit le morphisme

où

est abélien, on peut le factoriser en un morphisme

.

par **Ben314** » 09 Oct 2014, 15:42

Tu as du voir (sinon montre le, c'est super utile) que :
Si f : G->G' est un morphisme, on peut le factoriser de G/H->G' ssi H est contenu dans Ker(f).

Puis... tu applique... (sachant que, vu que DG est engendré par les commutateurs, pour montrer qu'un sous groupe H contient DG, il suffit de montrer que H contient tout les commutateurs)

par **capitaine nuggets** » 09 Oct 2014, 15:53

Ben314 a écrit:Tu as du voir (sinon montre le, c'est super utile) que :
Si f : G->G' est un morphisme, on peut le factoriser de G/H->G' ssi H est contenu dans Ker(f).

Puis... tu applique... (sachant que, vu que DG est engendré par les commutateurs, pour montrer qu'un sous groupe H contient DG, il suffit de montrer que H contient tout les commutateurs)

Oui, je l'ai vu, c'est un théorème super général à partir duquel on en a déduit le premier théorème de factorisation, merci :++:

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