Factorisation de a^n-b^n

par **gaia38** » 29 Juil 2015, 00:02

Bonjour, je travaille en ce moment avant d'entrer en PCSI en septembre et je suis tombé sur une formules dont je ne comprend pas la provenance. Jai fait pas mal de recherche, plein d'autres forums en parlent mais je n'arrive pas à comprendre comment on passe de l'un à l'autre:

a^n-b^n = (a-b)(a^{n-1}+ba^{n-2}+b^2a^{n-3}+...+b^{n-2}a+b^{n-1})

C'est pas très clair comme ça, ça le serais plus avec une somme mais je ne sais pas comment les faire avec un ordi :ptdr:

par **zygomatique** » 29 Juil 2015, 02:50

salut

il suffit de savoir sommer les termes consécutifs d'une suite géométrique ...

par **gaia38** » 29 Juil 2015, 08:44

Même avec ça j'y arrive pas et en plus sa explique pas comment on trouve la formule il me semble puisqu'il faut partir de la seconde partie de l'égalité.

pour sommer c'est bien Somme=nrb de termes*((q^nbr-1)/(q-1)) ?

par **nodjim** » 29 Juil 2015, 08:47

Pose la division (a^n-b^n)/(a-b) comme on l'apprend à l'école primaire, et ça se fait tout seul.

par **gaia38** » 29 Juil 2015, 09:13

comment poser ça? je comprend pas

par **capitaine nuggets** » 29 Juil 2015, 10:42

Salut !

- Supposons

; montrer que

revient donc à montrer que :

[CENTER]

[/CENTER]

Ensuite, en remarquant que

est la somme de

termes consécutifs d'une suite géométrique déduis-en la valeur de cette somme et donc ton résultat.

- Montre que cette égalité reste vraie lorsque

par **gaia38** » 29 Juil 2015, 11:25

Ok j'ai enfin réussi avec la dernière technique merci bien.
Par contre ça n'explique pas d'où vient la formule.

par **EGA-SGA** » 29 Juil 2015, 12:58

C'est quand meme l'oeuf avant la poule, ou la poule avant l'oeuf de passer par la somme d'une progression geometrique pour déduire la formule de l'énoncé.
Il suffit de developper le membre de droite pour arriver tout de suite sur le membre de gauche.
Les a.a^ib^(n-i-1) se tuent avec les -b.a^(i+1)b^{n-i-2}, il ne reste que les termes a^n et b^n.

par **WillyCagnes** » 29 Juil 2015, 13:05

entraine toi à factoriser

a² - b² = (a-b)(?)

a^3 - b^3 = (a-b)(?)

par **gaia38** » 29 Juil 2015, 16:18

Ah oui c'est bon j'ai pas compris toutes les démonstrations mais avec ça...
a^2-b^2=(a-b)(a+b)
a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+a^2)
...j'ai compris la logique.

C'est tout con en fait.
ça a un rapport avec le triangle de pascal pour develloper (a+b)^n?

En tout cas merci de votre patience.

par **zygomatique** » 30 Juil 2015, 13:17

C'est quand meme l'oeuf avant la poule, ou la poule avant l'oeuf de passer par la somme d'une progression geometrique pour déduire la formule de l'énoncé.
Il suffit de developper le membre de droite pour arriver tout de suite sur le membre de gauche.

évidemment on te donne la réponse ... donc il suffit de développer le second membre ...

sinon (quand on va en pcsi c'est qu'on a fait une première) :::

évidemment si a ou b est nul la formule est vraie ...

on suppose alors que a n'est pas nul ... alors ::

par **gaia38** » 30 Juil 2015, 14:09

Punaise je comprend pas comment tu passe de la deuxième partie à la troisième (ni quoi faire après même si ça doit impliquer de transformer en une somme).

Et autre question hors sujet, comment vous faites pour écrire les formules comme ça?

par **danyL** » 30 Juil 2015, 14:42

gaia38 a écrit:comment vous faites pour écrire les formules comme ça?

hello
dans le forum lycée, tu as un sujet épinglé "Ecrire des belles formules mathématiques - balises TEX"
http://www.maths-forum.com/ecrire-belles-formules-mathematiques-balises-tex-70548.php

par **zygomatique** » 30 Juil 2015, 15:07

gaia38 a écrit:Punaise je comprend pas comment tu passe de la deuxième partie à la troisième (ni quoi faire après même si ça doit impliquer de transformer en une somme).

Et autre question hors sujet, comment vous faites pour écrire les formules comme ça?

j'ai appris en primaire que pour tout nombre a non nul et tout nombre b :

puisque trivialement

:ptdr:

:zen:

par **EGA-SGA** » 30 Juil 2015, 15:26

zygomatique a écrit:évidemment on te donne la réponse ... donc il suffit de développer le second membre ...

sinon (quand on va en pcsi c'est qu'on a fait une première) :::

évidemment si a ou b est nul la formule est vraie ...

on suppose alors que a n'est pas nul ... alors ::

Mais c'est quand meme relativement ridicule justement d'utiliser la somme d'une progression géométrique pour prouver ce resultat, alors que justement ce resultat c'est essentiellement la preuve de la formule donnant la somme d'une progression géométrique.
Pour calculer 1+q+q²...+q^(n-1), le plus simple c'est quand meme de multiplier par (1-q) et de voir que ca fait 1-q^n, ce qui est exactement la meme chose qu'ici.

par **zygomatique** » 30 Juil 2015, 16:49

non ce n'est pas de multiplier par 1 - q ...

si

alors l'idée c'est de multiplier s par q puis la deuxième idée est de regarder pour voir et donc de le retrancher à s !!!! ... pour faire disparaître tous les termes sauf les extrêmes ...

ensuite peut alors venir l'idée "plus complexe" de multiplier directement s par 1 - q ....

par **gaia38** » 30 Juil 2015, 19:22

danyL a écrit:hello
dans le forum lycée, tu as un sujet épinglé "Ecrire des belles formules mathématiques - balises TEX"
http://www.maths-forum.com/ecrire-belles-formules-mathematiques-balises-tex-70548.php

merci :lol3:

EGA-SGA a écrit:Mais c'est quand meme relativement ridicule justement d'utiliser la somme d'une progression géométrique pour prouver ce resultat, alors que justement ce resultat c'est essentiellement la preuve de la formule donnant la somme d'une progression géométrique.

En fait moi sa me va très bien car on avait pas prouvé la somme avec ça, c'est pour ça que je l'avais pas vu en première cette formule.

par **zygomatique** » 02 Aoû 2015, 13:47

puis récurrence ...

par **nodjim** » 02 Aoû 2015, 19:39

Ou encore, comme je l'ai déja écrit:
a^n-b^n=a^(n-1)(a-b)+ reste= a^(n-1)b-b^n
a^(n-1)b-b^n=a^(n-2)*b(a-b)+ reste=a^(n-2)*b2-b^n
etc...

Factorisation de a^n-b^n

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