Factorisation d'un polynômes de degré 4..

[mimi59]

Bonsoir,


on me demande de factoriser au maximum le polynôme de degé 4 suivant:

P(X)= X^4+9X²+15X+7

en notant les racines:a,b,c,d
j'ai les relations suivantes:

a+b+c+d=0
abcd=7
ab+cd+(a+b)(c+d)=9
ab(c+d)+cd(a+b)=-15

on constate alors que
P(X)=(X²-(a+b)X+ab)(X²+(a+b)X+cd)

mais après je ne vois plus trop comment faire... :hein:
est-ce que quelqu'un pourrait m'aider s'il vous plaît?
merci d'avance :++:

[fahr451]

la factorisation dépend de l'anneau de polynômes dans lequel tu te places;
Z[X]? Q[X]? R[X]? C[X]?.

[mimi59]

désolée..
je me place dans C[X] biensûr.

[mathelot]

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[mathelot]

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[mathelot]

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[mimi59]

merci Mathelot pour ton aide... mais je suis fatiguée ce soir,je regarderai tout ça demain. :dodo:
merci!
:++:

[mathelot]

les formules exactes donnant les racines sont assez compliquées. Peut être peux tu séparer les racines réelles par une méthode d'analyse de Terminale (étude de P' et P") puis en calculer des valeurs approchées par la méthode itérative de Newton.
Parce que les formules exactes des racines semblent très compliquées !!! Que veux tu faire au juste avec cette factorisation ?
Ps: séparer les racines veut dire . trouver des intervalles comprenant chacun une racine isolée.

[mimi59]

en fait,je suis à l'iufm en préparation capes.
et pendant l'exposé sur les polynômes,notre formatrice nous a demandé de déterminer les racines de ce polynôme...
et comme c'est assez long,elle nous demande de le terminer chez nous.
mais je crois que je vais laisser tomber et travailler autre chose parce que j'ai l'impression de perdre mon temps là...
merci beaucoup! je note tout ce que tu m'as dit Mathelot!:++:

[mathelot]

bon, je vais essayer de te le faire. Je dois avoir les formules dans un bouquin d'algèbre. le mathématicien et physicien roger Penrose a dit (en parlant de ses pavages) "on ne sait jamais quand on perd son temps". Reviens dans deux jours si tu n'es pas surbooké(e).

[mathelot]

1ère étude:



donc P' a une unique racine réelle donnée par la formule de Cardan:



P ne s'annule pas. c'est donc le produit de deux trinomes de discriminant
strictement négatifs.
mais quels sont ces trinomes ? là, ça se complique.

[mimi59]

merci Mathelot!c'est très gentil!
quand je dis que c'est une perte de temps, :lol4: c'est parce que ce n'est pas très urgent,mais bien entendu je meurs d'envie de connaître la solution,ou du moins de bien comprendre la méthode pour pouvoir la réappliquer moi-même sur un autre polynôme.
encore merci

[mathelot]

on veut résoudre l'équation

pour résoudre cette équation du 4ème degré, on considère l'inconnue x
et on cherche une quantité y telle que:
soit égale à un trinome de discriminant nul. En effet, un trinome de discriminant nul est un carré de la forme et l'on aura donc ensuite à résoudre l'équation: , c'est à dire deux équations du second degré.


écrivons que le second membre a son discriminant nul:

cette équation équivaut à l'équation:

on trouvera demain une racine réelle par la méthode de Cardan. :dodo:

[mathelot]

Bon, on voit voir que ça sent le roussi...
je fais un changement de variable:

pour aboutir à une équation du 3ème degré sans terme en

on pose:
selon la méthode de Cardan pour résoudre les équation de degré 3:
on obtient:

pour trouver une racine , il SUFFIT que:


et sont les solutions de l'équation:

d'ou, les deux racines complexes conjuguées:


On calcule le module du nombre complexe

d'où:
On peut prendre pour et :


où:


d'où:



soit encore:

Les quatre racines du polynome P initial sont les racines des deux équations
du second degré d'inconnue x:


où:


l'ennui, c'est que la quantité est proche de zéro.
je vais regarder s'il n'y a pas une ruse...

[mathelot]

où:

finalement, ces deux trinomes de la variable sont les facteurs de la décomposition cherchée de notre polynome P.
d'où:

où:



:lettre:

[mathelot]

pour l'application numérique de ces formules:

ps: quel est le signe "peu différent de" sous LaTex ?

[mimi59]

Whaouhhh!!! :doh: je te remercie infiniment Mathelot!!! :++:
tu as du passer du temps pour faire tout ça?!! c'est très gentil!!
je vais regarder ça de plus près! merci beaucoup!!

[mathelot]

Regardons une seconde méthode, dite "de Descartes".
Nous cherchons à factoriser
sous la forme:

L'identification des coefficients donne les relations:



l'identité triviale supplémentaire:

donne en remplaçant une équation bicarrée de degré 6:

en posant
on obtient une équation du troisième degré:

En résolvant cette dernière équation par la méthode de Cardan, celle çi n'a qu'une solution réelle positive et on retrouve les solutions trouvées.