Factorisation de polynômes.

[matthieu45]

Bonsoir, j'ai un petit problème sur cet exercice.
Pour résumer, voici ce qui a été établi aux questions précédentes :
Soit K désigne le corps R ou le corps C.
1. Un polynome P de K[X] est dit simple si d°(P)>=1 et si PGCD(P,P')=1.

2.Les racines d'un polynome simple sont simples.

3. P est simple dans R[X] ssi P est simple dans C[X].

4. Soit Q un polynome non constant de C[X]. Q peut s'écrire de facon unique sous la forme : Q=a.P1^(b1). .... Pr^(br) ou a appartient à C*, P1,...,Pn étant des polynomes simples, unitaires, premiers entre eux 2 à 2, b1,...,br étant des entiers naturels vérifiant : 1
5. Soient P, un polynome simple, intaire, R, un polynome premier avec P, et gamma, un élément de N*. On a Q=P^(gamma).R qui vérifie PGCD(Q,Q')=P^(gamma-1).PGCD(R,R').

6. On a montré l'existence et l'unicité de la décomposition de la question 4), et montré qu'elle s'applique aussi à R[X].

7. Soit, P appartenant a C[X]. On a montré que le nombre de racines complexes distinctes de P est égal à d°(P)-d°(PGCD(P,P')).


Question d'application :
Décomposer en produit de facteurs irréductibles dans R[X] et C[X] les polynomes suivants :
P1=X^3+4.X^2+5.X+2 (si on dit que -1 est racine, c'est facile, mais alors je ne vois pas l'intérêt de l'exercice).
P2=X^6+X^4+3.X^2-2.X+2.

D'ailleurs si quelqu'un a une idée sur la manière de démontrer la 5 et la 6 ...

Merci d'avance de votre aide, et d'avoir eu le courage de tout lire.

[yos]

Salut.
Pour la question d'application, n'est-ce pas plutôt la décomposition en polynôme simples qui est demandée?

Pour la question 5, (g=gamma)
Q'=gP^(g-1)P'R+P^gR'=P^(g-1)(gRP'+PR'),
donc PGCD(Q,Q')=P^(g-1)PGCD(PR,gRP'+PR').
Reste à prouver que PGCD(PR,gRP'+PR')=PGCD(R,R') :
-Il est évident que si un polynôme divise R et R', alors il divise PR et gRP'+PR'.
-Inversement, soit D un diviseur commun de PR et gRP'+PR'. Alors D divise
R(gRP'+PR')-R'(PR) c'est-à-dire gR²P' et donc R²P' (g est un inversible de l'anneau des polynômes). Ainsi D divise PGCD(PR,R²P')=R x PGCD(P,RP')=1 (en effet P est étranger à R et à P' donc à leur produit). On a donc D|R, et R étranger à P, donc D est étranger à P, mais D|PR', donc D|R' (Gauss).

D'où l'égalité des deux PGCD.

[matthieu45]

Merci beaucoup de ton aide.
Pour la question d'application rien d'autre n'est précisé, mais je suppose que oui, il faut décomposer en polynomes simples. Si tu as une idée ...

[Amine.MASS]

bonjour,
pour la décomposition,je ne pense pas qu'on doit avoir la condition: strict,car prenons par exemple Q=X-1
sinon,pour montrer l'existence de cette décompsition dans C[X],considére la décomposition en éléments irreductible Q= avec les # deux a deux et les
puis on construit une suite d'élements tq
=min{ }
=min{}
etc..
selon la propriété 5 on a si P et R sont deux poly simple,alors P.R est simple(en prennant gamma=1 et R simple)

donc en regroupant les termes de la décomposition Q= ayant les mémes puissances on trouve que
Q=
et on a sont des polynomes simples(la prop 5) et vérifient les conditions demandées
pour l'unicité:
soit Q=a
considére la décomposition en éléments simple de c'est sous la forme (n'admet que des racines simple puisque pgcd( , )=1)
puis tu utilise l'unicité de la décomposition en élémets irréductible^pour montrer l'unicité c'est simple a voir.
je sais que c'est mal rédigée,mais j'espere que tu as compris
cordialement,Amine

[yos]

selon la propriété 5 on a si P et R sont deux poly simple,alors P.R est simple(en prennant gamma=1 et R simple)

Si P, R sont premiers entre eux.

[Amine.MASS]

c vrai Yos j'ai oublié de mentionné qu'ils sont premiers entre eux. :marteau:

[matthieu45]

et comment montrer que cette décomposition s'applique aussi à R[X] ?

[Amine.MASS]

et comment montrer que cette décomposition s'applique aussi à R[X] ?

je ne sais pas comment on peut utiliser le proposition 3 pour le montrer,mais par la méme démarche que pour C[X],les termes (X- ) conjugués ont méme puissances donc on trouve que les de la décomp d'un polynomes ds IR[X] sont dans IR[X]

[yos]

Je pense aussi que la construction de la décomposition donnée par Amine est valable dans R[X]. Pour une preuve qui marche dans les deux cas, il faut simplement écrire la décomposition en éléments irréductibles :
,
et regrouper les facteurs comme l'a fait Amine.

Au passage, la question 3 est pas triviale. L'as-tu faite?