Exponentielle d'un endomorphisme

par **surf-555** » 13 Jan 2007, 21:24

Soit E un espace vectoriel euclidien de dimension n tel que:dimE=n.
Soit B=(e1,.........,en) une base de E.
On associe a s la suite des endomorphismes: uk=i+s+..........+s^k/k!=Pk(s)
On note exps la limite de uk si (uk) converge.

1/Démontrer l'existence de exp(s) lorsque s est diagonalisable.Trouver une relation simple entre la trace de s et le déterminant de exps .

Je vois pas comment démarrer merci d'avance...

par **surf-555** » 13 Jan 2007, 21:59

Y a t-il quelqu'un que ce sujet inspire?

par **yos** » 13 Jan 2007, 22:32

Tu peux remplacer s par

et le problème se ramène à la convergence de

qui est la matrice

.

par **surf-555** » 13 Jan 2007, 22:55

Et pour Pk(d) qui est la matrice qui contient sur la diagonale:
Pk(lambda1,..........,lambdan) pour l'étude de la convergence faut -il dire que chaque pk(lambak) converge donc Pk(d) converge?

par **yos** » 13 Jan 2007, 23:00

Oui, pour la norme

(on prend la norme qu'on veut).

par **surf-555** » 13 Jan 2007, 23:03

ah ok merci...

par **surf-555** » 13 Jan 2007, 23:22

au fait mais pourquoi parle t-on de norme ?

par **fahr451** » 13 Jan 2007, 23:35

ne parle pas d e norme si tu veux
Mais puisqu'on parle d e limite d e suite de matrices il faut bien définir cette notion :
dis qu'une suite de matrices converge vers une matrice ssi pour tout i et j
la suite des coeff i,j converge vers le coeff i,j

(mais la notion de norme infinie est bien là un peu masquée)

par **surf-555** » 13 Jan 2007, 23:37

ah d'accord merci beaucoup

par **surf-555** » 14 Jan 2007, 00:48

Ensuite j'ai : s endomorphisme de E diagonalisable dans B=(e1,.........,en) et soit f un endomorphisme inversible de E on pose: s'=fsf^-1 et B'=(f(e1),......f(en))
comparez sB et sB' matrices de s et de s' dans B et B'.
En fait j'ai calculé s'(e1) mais je n'arrive à rien ...s'(ei)=lambdai f(ei) ei f^-1(ei)
merci d'avance

par **fahr451** » 14 Jan 2007, 00:53

on pose e'i = f(ei) et sM = (aij) la matrice de s dans B
on a s ' (e'j) = fsf^(-1) (f(ej) = fs (ej) = f (sigma aij ei) = sigma aij f(ei) = sigma aij e'i

conclusion les deux matrices sont égales.

par **surf-555** » 14 Jan 2007, 01:05

ah ok merci c'était bien clair pour le calcul!

par **surf-555** » 14 Jan 2007, 01:24

Mais je vois pas en quoi on a montré l'égalité des matrices..........J'ai fais autrement:
je trouve s'(ei')=lambda(i)f(ei)
donc : s'(f(ei))=lambdaif(ei) =s(f(ei)) d'ou le resultat trouvé.

par **yos** » 14 Jan 2007, 09:56

C'est OK. Fahr l'a montré pour une matrice quelconque et pas seulement diagonale.

par **surf-555** » 14 Jan 2007, 10:24

Ah d'accord , merci.

par **surf-555** » 14 Jan 2007, 10:35

Je dois en déduire : exp(fsf^-1)=f(exps)f^-1
En fait j'ai dis :
exp(fsf^-1)=exp(ffsf^-1f^-1) et la je vois pas pourquoi on a le droit de sortir le f et le f^-1 pour obtenir le résultat...

par **surf-555** » 14 Jan 2007, 11:36

Faut -il repasser aux matrices?

par **fahr451** » 14 Jan 2007, 12:02

oui repasse par les matrices

par **surf-555** » 14 Jan 2007, 12:15

Mais en fait je vois pas trop comment faire avec les matrices ...
:marteau:

par **fahr451** » 14 Jan 2007, 12:50

On a Mat (s ' ,B') cette écriture signifie matrice de s' ds la base B'

Mat(s' ,B') = Mat(s,B) = D matrice diagonale

donc les exp de ces matrices sont égales

Mat (exps',B') = exp D

or M' = Mat (s,B') = P(B',B)Mat(s,B)P(B,B') = P^(-1)DP

et exp M'= P^(-1)exp(D)P ( passer par les sommes partielles et ensuite à la limite)

donc Mat(exps',B') = PexpM'P^(-1) = PMat (exps,B')P^(-1)

Or P = P(B,B') = Mat (f,B)et P^(-1) = Mat ( f^(-1),B')
d'où

Mat(exp s' ,B') = Mat(f,B)Mat(exps,B')Matf^(-1),B') = Mat

Exponentielle d'un endomorphisme

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