Exo groupes ...

par **Anonyme** » 04 Déc 2005, 15:10

Bonjour
J'ai un problème avec cet exercice...
Merci à tous ceux qui m'aideront.

Soit G le sous groupe de GL(n,R) défini par
G= { matrices (1 a) de M(2,R) telles que b différent de 0}
(0 b)
Soit H le sous groupe de G défini par
G= { matrices (1 a) telles que a réel }
(0 1)

1)Interpréter G comme le stabilisateur d'un certain élément pour une action convenable de GL(2,R), sur un ensemble à déterminer...
-> j'ai la définition d'un stabilsateur mais je ne sais pas comment l'utiliser...

2) Montrer que H est un sous-groupe distingué de G
-> Cà j'ai réussi à le montrer : gh(g-1) appartient à H

3) Montrer que G/H est isomorphe à R*
-> je ne sais pas quel application de G/H dans R* utiliser...

Merci !!

par **yos** » 04 Déc 2005, 16:53

GL(2,R) agit sur R² par multiplication à gauche.

L'axe des abscisses ( les couples (x,0) ) est fixé (stabilisé) par G.

Je te laisse réfléchir. Je reviens plus tard.

par **Anonyme** » 04 Déc 2005, 18:12

ooops, désolé, dans mon énoncé les matrices ne sont pas très alignées, j'espère que c'est compréhensible...

Merci yos, je n'avais pas pansé à prendre des éléments de R², je n'avais essayé qu'avec des matrices particulières...

Pour le 3), je n'ai toujours pas trouvé l'isomorphisme...

par **yos** » 04 Déc 2005, 19:15

Il faut élucider G/H. Un élément de G/H est une classe gH où g est un élément de G. Prend g et g' dans G et cherche une condition sur les éléments a,b,a',b, de ces matrices pour que l'on ait gH=g'H (c'est-à-dire g^(-1)g' dans H).

Ca doit donner b=b' je crois.
Ainsi une classe modulo H est un ensemble de matrices
1 x
0 b

où b est fixé et x décrit R.
Tu as ton iso en associant à cette classe l'élément b.

par **Anonyme** » 04 Déc 2005, 19:39

Qu'entends-tu par "en associant à cette classe l'élément b" ??

par **yos** » 04 Déc 2005, 20:02

f: G/H ----> R*

f envoie (transforme, associe) la classe
1 x
0 b
(où x décrit R),
sur l'élément b de R*

Exo groupes ...

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