Exo de groupes

par **Mohamed** » 03 Nov 2006, 17:15

salut tt le monde.coucou

j'arrive plus à trouver un chemin pour résoudre ce petit exo, veuillez m'aider à faire
soit (G,.) un groupe et A et B deux parties de G telles que

(l'inégalité est stricte, je sais pas cmt ça s'ecrit en latex)
Montrer que G=A.B
cad

il esiste

tels que

:ptdr:

par **Imod** » 03 Nov 2006, 17:31

Il doit manquer quelque chose , contre-exemple :

, A = B = {0;2} .

Imod

PS : ici la loi est +

par **Mohamed** » 03 Nov 2006, 17:39

mais ton exemple contredit les hypothèses de l'exo.!!!

par **Imod** » 03 Nov 2006, 17:44

card(A)+card(B)=4 > 1/2. card(G) = 3 . Il n'y a pas de contradiction .

Imod

par **Zebulon** » 03 Nov 2006, 17:52

Bonsoir,
à mon avis, il faut au moins rajouter une condition de structure sur A et B. Je dis ça parce que ça fait penser au produit semi-direct, où les hypothèses sont beaucoup plus fortes.

par **Mohamed** » 03 Nov 2006, 17:52

mais non $
{0,2} n'est pas une partie de

par **Imod** » 03 Nov 2006, 17:57

Mohamed a écrit:mais non $
{0,2} n'est pas une partie de

????????????????

Tu veux dire n'est pas un sous-groupe ? Mais alors il faut le dire .

Imod

par **Mohamed** » 03 Nov 2006, 18:34

je crois pas

par **mejdane** » 04 Nov 2006, 18:08

on suppose que card(B)>=card(A)
alors en supposant qu'il existe un x tq pour tt a et pour tt b xdiiférent de a.b
on aura
card(G)-card(A).card(B)>card(A)+card(B)<=>card(G)>card(A)+card(B)+card(A).card(B)
donc pour avoir l'opposition avec l'hypothèse il suffit de :
Mq card(A).card(B)>=card(A)+card(B)
Or card(B)>=card(A)=>2card(B)>=card(A)+card(B)
et comme card(A)>=2(il n'est pas réduit à un singleton)
on aura card.card(B)>=card(A)+card(B)
or c 'est absurde .
D'où la démostration (j'espère!)

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