Je ne suis pas du tout axé math et dois rendre cette exercice qui aura une grande incidence sur ma moyenne. Est-ce que quelqu'un pourrait m'aider (je suis prêt à "rémunérer" un service...) :
(aussi disponible sur : fichier pdf )
On désire étudier un modèle pour lallocation dun portefeuille action en utilisant la théorie meanvariance selon Markowitz. Lidée du modèle est davoir une distribution simple pour les volatilités, une corrélation identique entre tous les titres, et un rendement espéré proportionnel à la volatilité.
Le modèle est composé de la manière suivante.
1. Un univers de n titres.
2. La volatilité i des titres est répartie uniformément entre min et max.
3. La corrélation entre le titre i et j est constante et égale à .
4. Le rendement espéré i pour un titre est donné par un risk premium, qui est une fonction de
sa volatilité i. Le modèle le plus simple est proportionnel à la volatilité, avec i = i.
Utilisez les valeurs n = 8, min = 10%, max = 30%, = 20% et = 0:2.
Indication : la matrice de covariance est donnée par la formule = 1=2
diag R1=2
diag avec la matrice
de volatilité 1=2
diag qui contient les volatilités i sur la diagonale (et zéro hors diagonale). Pour une
corrélation constante, la matrice de corrélation R peut sécrire sous la forme
R = (1
)1n + ~1 ~1>ou 1n est la matrice identité et ~1 est un vecteur ou tous les éléments valent 1.
Une bonne propriété dun portefeuille est dêtre diversifié, cest-à-dire dinvestir dans tous les
titres disponibles de manière similaire. La diversification maximale est obtenue lorsque wi = 1=n
pour tous les titres. A lopposé, la diversification minimale (sans vente à découvert) est obtenue
lorsque tous les poids sont nuls, sauf un qui a la valeur 1. La dispersion des poids peut être mesurée
par la variance 2(w) ou la déviation standard (écart-type) (w) des poids wi.
Répondre aux points suivants.
1. Définir une fonction indiquant la diversification (ou la concentration), cest-à-dire une fonction
f(w) qui soit dautant plus grande (respectivement petite) que le portefeuille est diversifié.
Votre fonction peut être définie à partir dune mesure de dispersion des poids.
2. Avec Excel et en fixant n, calculer la matrice de variance-covariance et les rendements espérés.
Garder chacun des paramètres dentrées dans une seule cellule.
3. Sans prime de risque, étudier lallocation obtenue en minimisant la variance du portefeuille
(minimum variance portfolio), en fonction de la corrélation. Interpréter les solutions.
4. Même question, mais sans vente à découvert.
5. Etudier lallocation obtenue en minimisant lécart-type auquel on ajoute les rendements espérés,
multipliés par un coefficient qui fixe la propension au risque. Attention, ce coefficient
doit être négatif. Fixer la corrélation et étudier la solution en fonction de . Interpréter les
solutions, en particulier dans le plan risque-rendement et avec lindicateur défini au point 1.
6. Même question, mais sans vente à découvert.