Exercice fonction

[Rik95]

Bonjour,

J'aurai besoin de votre aide pour un exercice de fonction qui me bloque ... :

Soit n>= 2 un entier fixé et soit f : [0, +l'infini[ ==> R la fonction définie par :

f(x) = (1+x^n)/(1+x)^n

1) Montrer que f est derivable sur [0, + l'infinie[ et calculer f'(x).
2) En étudiant le signe de f', montrer que f atteint un minimum que l'on déterminera
3) en déduire l'inégalité : (1+x)^n<)2^n-1(1+x^n)
4) En déduire que pour tout x >= 0 et tout y >=0 on a :

(x+y)^n<=2^n-1(x^n+y^n)


Concernant mes réponses :

1) Pour la première question le fait qu'elle soit dérivable me parait évident ... je ne vois pas trop ce qu'il y'a a montrer je n'ai aucun point a étudier ...

Concernant le calcul de la dérivé cela ne ma posé aucun problème.

2) Pour la 2eme question il me parait évident vu la fonction que celle ci est décroissante car 1+x^n < (1+x)^n et donc le signe de f' est forcement <0 mais je n'ai pas su le montrer en étudiant uniquement le signe de f' comme demandé ...

En ce qui concerne le minimum vu que la fonction est strictement décroissante, c'est forcément quand elle tend vers l'infinie ...


Je n'ai pas encore trop réfléchi a la 3eme et 4eme question car je sens que je n'ai pas bien répondu au 1eres ... du moins pas comme on l'attend dans l'exercice

Merci

[capitaine nuggets]

Bonjour,

J'aurai besoin de votre aide pour un exercice de fonction qui me bloque ... :

Soit n>= 2 un entier fixé et soit f : [0, +l'infini[ ==> R la fonction définie par :

f(x) = (1+x^n)/(1+x)^n

1) Montrer que f est derivable sur [0, + l'infinie[ et calculer f'(x).
2) En étudiant le signe de f', montrer que f atteint un minimum que l'on déterminera
3) en déduire l'inégalité : (1+x)^n= 0 et tout y >=0 on a :

(x+y)^n<=2^n-1(x^n+y^n)


Concernant mes réponses :

1) Pour la première question le fait qu'elle soit dérivable me parait évident ... je ne vois pas trop ce qu'il y'a a montrer je n'ai aucun point a étudier ...

Concernant le calcul de la dérivé cela ne ma posé aucun problème.

2) Pour la 2eme question il me parait évident vu la fonction que celle ci est décroissante car 1+x^n < (1+x)^n et donc le signe de f' est forcement <0 mais je n'ai pas su le montrer en étudiant uniquement le signe de f' comme demandé ...

En ce qui concerne le minimum vu que la fonction est strictement décroissante, c'est forcément quand elle tend vers l'infinie ...


Je n'ai pas encore trop réfléchi a la 3eme et 4eme question car je sens que je n'ai pas bien répondu au 1eres ... du moins pas comme on l'attend dans l'exercice

Merci

1) Attention, à priori, tu peux seulement affirmer que est dérivable sur .
Un exemple tout simple, est définie sur , mais n'est pas dérivable sur :+++:
Pour montrer qu'effectivement, est dérivable en , tu dois le justifier :+++:
(Ne pas oublier de bien placer un "pour tout ", puisque dépend de , on devrait l'appeler mais bon...)

[Rik95]

Mais comment puis je me justifier ? n'est ce pas un caution de fonction dérivable quelques soit n >=2
?

Me suffit il d’étudier la dérivabilité au point 0 ?

[arnaud32]

c'est une fraction rationnelle, donc derivable sur son ensemble de definition

[Rik95]

Merci, donc dire que c'est un caution de fonction dérivable suffit ?

Sinon pour la 2eme question comment puis je étudier efficacement le signe de f' ?

Edit: enfaite j'ai dit des betises dans mon 1er post, la fonction n'est pas strictement decroissante ... sa ce vois en fixant n = 2 et en prenons des valeurs pour x ...

[arnaud32]

qu'as tu trouve comme derivee?

[Rik95]

J'ai trouvé :

((n*x^(n-1))*(1+x)^n -(1+x^n)*n(1+x)^(n-1))/((1+x)^2n)

[arnaud32]

tu factoreises, tu simplifies et tu dois trouver qqch de plus simple

[Rik95]

J'ai essayer de simplifier un peu mais je n'arrive pas a faire mieux que sa :

(n*(x^(n-1) +x^n -(1+x)^n))/((1+x^(n+1)))

Edit : erreur de calcul, enfaite sa donne : (n*(x^(n-1) -1)/((1+x^(n+1))

[arnaud32]

n(x^(n-1)-1)/(1+x)^(n+1)
si je ne m'abuse

[Rik95]

Oui effectivement je viens de m'en rendre compte ^^ , merci :)

[Rik95]

Donc le minimum est en x=1 et f(1) = 1/2^n-1
Comme f(x) > f(1) , la 3eme question est évidente.

Pour la dernière question je ne vois pas trop pour le moment ... j'ai essayer de faire une récurrence mais je ne suis pas bien avancé