Exercice espaces vetoriels, matrices

[stricke]

bonjour,
voila j'ai un exercice à faire mais je ne sais pas comment m'y prendre, voici l'énoncé :

soit phi : Mn(;)) -> Mn(;)) ; X -> -X+tr(X).A ou A est une matrice non nulle fixée
1. à quelle condition phi est elle bijective ? dans le cas contraire, caractériser phi. [calculer phi o phi]
2. pour B ;) Mn(;)), étudier l'équation "phi(X)=B"

merci d'avance de me venir en aide =)
stricke

[Ben314]

Salut,
Déjà, le premier truc à dire (vu qu'il ne demande aucun calculs), c'est que phi est linéaire d'un e.v. de dim fini dans lui même (i.e. c'est un endomorphisme) donc, pour phi, bijective injective surjective.
Ensuite, tu peut
- Soit évaluer le Noyau de phi (assez simple),
- Soit son image en écrivant que, pour une matrice Y fixée, si un certain X est tel que phi(X)=Y alors X doit être de la forme X=... donc ...

Edit : en fait j'avais (évidement) pas tout lu l'énoncé et ma "deuxième méthode" est trés exactement ce que l'on te demande dans le b) {ce qui évidement signifie que c'est la première méthode qui est attendue au a))

[stricke]

salut,
merci pour ta réponse, j'ai essayé mais j'ai du mal avec l'algèbre
je ne sais pas trop comment m'y prendre pour évaluer le noyau :
ker(-X+tr(X).A)=0 ssi X=0
le noyau a un seul élément (dimension 1?)? sachant qu'on ne connait pas la dimension de phi ?

[Ben314]

Bon, effectivement, vu ce que tu écrit, "ton" algèbre linéaire est pas au "top".

Chercher le noyau de phi, c'est résoudre l'équation phi(X)=0. (le noyau étant, par définition l'ensemble des solutions de cette équation).

Le noyau est un sous espace vectoriel donc :
S'il ne contient qu'un seul élément, cet élément est forcément le vecteur nul de E (ici, la matrice nulle) et, dans ce cas, la dimension du noyau est 0 (une base contient... zéro éléments).
S'il est de dimension 1, c'est que c'est une droite vectorielle, c'est à dire que c'est l'ensemble des multiple d'un élément donné : dans ce cas, il a clairement une infinité d'éléments.

Phi est un endomorphisme, c'est à dire une application linéaire, c'est à dire une fonction et, le mot "dimension" ne s'applique pas à des... fonction mais à des sous espaces vectoriels.
Donc, effectivement, tu ne connait pas la "dimension de phi", mais c'est assez normal, vu que la "dimension de phi", ça veut rien dire.

Revenons à l'exo : tu doit chercher le noyau de Phi, c'est à dire chercher la (ou les) matrice(s) X telle(s) que phi(X)=0, c'est à dire telle(s) que -X+tr(X).A=0 (où, bien sûr, 0 désigne la matrice nulle).
Peut tu déduire quelque chose de X=tr(X).A ?

[stricke]

la trace c'est "un chiffre entier" une fois calculée?
donc X=tr(X).A <=> X=alpha.A, les matrices A et X sont les mêmes à un coefficient près?

[Ben314]

Cets pas tout à fait suffisant :
On a évidement X=tr(X).A => X=alpha.A, mais pour la réciproque, c'est pas clair du tout :
Si X=alpha.A alors l'égalité X=tr(X).A équivaut à alpha.A=tr(alpha.A).A qui, vu que la matrice A est non nulle, équivaut à alpha=tr(alpha.A), c'est à dire à alpha=alpha.tr(A).
Arrivé à ce stade, deux cas se présentent...

[stricke]

soit tr(A)=1 (<=> alpha=1) soit alpha=0
mais je vois pas où ça nous mène,
je vais attendre la réponse demain parce que là je suis perdu
merci quand même

[Ben314]

...c'est à dire à alpha=alpha.tr(A).

Soit tr(A)=1 et l'équation alpha=alpha.tr(A) est vérifiée pour tout réel alpha, ce qui signifie que le noyau de Phi est l'ensemble des matrices de la forme X=alpha.A avec alpha réel quelconque : c'est donc un s.e.v. de dim 1 et Phi n'est pas injective (donc ni surjective ni bijective)

Soit tr(A)<>1 et l'équation alpha=alpha.tr(A) a comme unique solution alpha=0, ce qui signifie que le noyau de Phi est composé uniquement de la matrice nulle : c'est donc un s.e.v. de dim 0 et Phi est injective (donc surjective et bijective)