Matrices, Espaces Engendrés

[Hyp]

Bonsoir à tous,

Etant encore peu familier avec les matrices, je bloque sur un certain point de cet exercice :

Soit la base canonique de , et f une application linéaire (de dans lui même), de matrice:
A=n(f,B)=

(2 -2 1)
(2 -3 2)
(-1 2 0)

On m'a demandé de montrer qu'elle est inversible, ce qui est déjà fait.

Puis on me demande de montrer que E= {v de IR^3, tel que f(v)=v} est un EV de dimension 2 puis de donner une base {v1,v2} de E.


J'ai posé l'égalité matricielle A v = v pour avoir un système (en fait 3 équations qui découlent l'une de l'autre :

x-2y+z=0 , et 2x-4y+2z=0, et -x+2y-z=0.

J'aimerais bien pouvoir montrer qu'il est engendré par une famille libre de deux éléments, ce qui me permettrait de répondre aux deux questions à la fois, mais je bloque là dessus =x.

Une indication svp ? Merci de votre aide.

[nonam]

je pense que le plus simple serait de dire que c'est le noyau d'un forme linéaire non nulle de dans (à toi de trouver la forme en question, mais c'est à peu près évident avec ce que tu as trouvé), donc un espace de dim. 2. Il te reste ensuite à exhiber deux vecteurs libres pour avoir une base.

[Hyp]

Serait ce f - id (E) ?

f est déjà linéaire, et autant pour l'identité, et donc E serait son noyau.

C'est bien ça ?

[nonam]

non, f-id(E) n'est pas une forme... (mais c'est bien pensé quand même).
Je pensais à (x,y,z) --> x-2y+z
Le soucis avec f-id, c'est qu'on ne peut pas conclure directement sur la dim de son noyau.

[Hyp]

Je suis d'accord, mais on doit quand même montrer qu'elle est linéaire non ?

[nonam]

oui, il faudrait le montrer.
si tu trouves ça trop long tu peux toujours passer par f-id. c'est comme tu le sens.

[Hyp]

Merci bien nonam.

Je pourrais me débrouiller avec cette méthode, toutefois je suis obligé de maitriser la méthode du sev engendré car la question suivante me l'impose (la même pour F= {v de IR^3, f(v)= -3v}, de dim 1.. )

[abcd22]

Bonsoir,
Tu as commencé à résoudre un système d'équations, termine la résolution comme tu as dû l'apprendre sans t'occuper de matrices et tu verras que les solutions s'écrivent comme combinaison linéaire de deux vecteurs...

[Hyp]

Bonsoir,

Le problème c'est que mon système est composé de trois équations identiques, à coefficient près, donc je ne peux pas en tirer grand chose..

[abcd22]

Ben si, les solutions utiliseront deux paramètres, pile ce qu'on veut, vous avez bien dû voir la résolution de systèmes d'équations linéaires qui n'ont pas une solution unique ?

[Hyp]

Oui bien sûr, et c'est bon j'ai trouvé, merci pour tout :)