Espaces vectoriels et Matrices

[Diaz]

Bonjour à tous!
Toujours dans le cadre de la préparation de mon concours,j'aimerais savoir si on peut affirmer les assertions suivantes:
1-Pour parler d'espace vectoriel sur un corps K,il faut au préalable que le corps K soit commutatif.
2-Si E est un espace vectoriel sur un corps K,alors E est un espace vectoriel sur tout sous-corps de K.
3-Toute matrice carrée est somme d'une matrice symétrique et d'une matrice antisymétrique(sinon,sous quelles conditions cela est-il vrai?)
4-Dit-on que la transposition des matrices est un antimorphisme ou qu'elle est un anti-isomorphisme?
Merci d'avance!

[El_Gato]

1-Pour parler d'espace vectoriel sur un corps K,il faut au préalable que le corps K soit commutatif.

Pas nécessairement. Mais les ev sur un corps non commutatif ne sont jamais mentionnés au niveau des concours: il faut alors distinguer les ev à gauche et à droite sur K.
Mais la notion existe: on peut rencontrer des ev à gauche ou à droite sur le corps non commutatif des quaternions par exemple.

2-Si E est un espace vectoriel sur un corps K,alors E est un espace vectoriel sur tout sous-corps de K.

Oui.

3-Toute matrice carrée est somme d'une matrice symétrique et d'une matrice antisymétrique(sinon,sous quelles conditions cela est-il vrai?)

Oui car, si le corps K n'est pas de caractéristique 2, c'est à dire si 2 est différent de 0 dans K, on a, pour toute matrice A:
.

4-Dit-on que la transposition des matrices est un antimorphisme ou qu'elle est un anti-isomorphisme?
Merci d'avance!

La transposition est linéaire: c'est un endomorphisme.

[yos]

4-Dit-on que la transposition des matrices est un antimorphisme ou qu'elle est un anti-isomorphisme?
Merci d'avance!

C'est un endomorphisme d'espaces vectoriels et même un isomorphisme de
Mn(K) mais ce n'est pas la question car Mn(K) est une algèbre. C'est presque un isomorphisme d'algèbre excepté t(AB)=t(B)t(A). D'où l'appellation d'antimorphisme ou d'anti-isomorphisme. Je ne sais pas trancher entre les deux, mais je sais que cette terminologie est sans intérêt.

[Anonyme]

Merci bcp à vous,El_Gato et Yos.Merci!

[Diaz]

Merci bcp à vous,El_Gato et Yos.Merci!

C'est à moi de vous remercier:vous êtes super!
Merci!