Exercice espaces vectoriels

[evazion]

Bonjour à tous,
Voici un exercice sur lequel je bloque. Pourriez-vous m'aider à avancer et vérifier les réponses que j'ai déjà trouvées ?

Soit F la partie de définie par .

1./ Donner une base de F.
2./ Compléter la base trouvée en une base de R^{4}.
3./ On pose et . La famille est-elle libre ?
4./ On pose . Quelle est la dimension de G ?
5./ Donner une base de .
6./ En déduire que .
7./ Est ce qu'un vecteur de s'écrit de façon unique comme somme d'un vecteur de F et d'un vecteur de G ?

Ce que j'ai fait :
1./ J'ai trouvé que ((-1,1,1,0),(0,0,0,1)) est une base de F.
2./ Je pense qu'il faut utiliser le théorème de la base incomplète mais je n'ai pas vraiment compris ce théorème donc je ne sais pas l'utiliser.
3./ J'ai vérifié que la famille pouvait s'écrire sous forme de combinaison linéaire avec tous les scalaires nuls, ce qui est le cas. Donc la famille est libre.
Pour le reste je bloque ..

Merci d'avance pour votre aide et le temps que vous me consacrerez.

[tournesol]

1) OK
2)J'ai complété au hasard par (0,0,1,0,0) et (0,1,0,0) et j'ai montré facilement que la famille complète est libre .
pour le reste , je n'ai pas le temps maintenant .

[tournesol]

Pour 4) est une famille libre qui est génératrice de G , donc G est de dimension 3 .pour5) la dimension de Finter G est inférieure ou égale à 2 .
Si elle était egale a 0 , F et G seraient en somme directe et R^4 contiendrait un se (F+G) de dimension 5 .
Si elle était égale à 2 , F serait inclus dans G .
Il suffit de vérifier que les vecteurs de base et de F ne sont pas cl de .
Donc F inter G est de dimension 1 .
Il suffit ensuite de trouver un vecteur non nul cl des vecteurs de la base de F et de la base de G .
Donc de résoudre sommairement (par implications)

verifier que le vecteur obtenu appartient a F inter G .
pour6) utiliser la formule qui donne dim(F+G)

[evazion]

1) OK
2)J'ai complété au hasard par (0,0,1,0,0) et (0,1,0,0) et j'ai montré facilement que la famille complète est libre .
pour le reste , je n'ai pas le temps maintenant .

Bonjour, merci pour votre réponse.
Cependant, je me pose une question : est que je peux compléter la base avec des vecteurs qui n'appartiennent pas à F, dans le sens où ils ne vérifient pas la relation proposée :
x+y=0 et x+z=0, puisque clairement (0,0,1,0) et (0,1,0,0) ne vérifient pas du tout ça ...

Et aussi, je n'ai pas bien compris la question 5, malgré les explications

[tournesol]

Pour la 2) F est de dimension 2 , donc F n'est pas R4 .
Donc on est obligé de compléter la base de F avec des vecteurs
qui ne sont pas dans F .
pour la 5 ) , ta demande est vague . Qu'est ce que tu n'as pas compris ?

[evazion]

Ah oui d'accord, je vois pour la question 2.
Pour la question 5, déjà je ne comprends pas pourquoi la dimension de FinterGest inférieure ou égale à 2. Et aussi après pourquoi est ce qu'on distingue deux cas.
Je crois en fait que je n'ai pas compris la méthode générale de résolution de la question, qu'est ce qu'il faut chercher

[evazion]

HELP PLEASE ...

[pascal16]

-> pour la famille libre.
a.u1 + bu2+cu3=0 implique a=0 et b=0 et c=0, la famille est libre.

-> si F est de dimension 2, F inter qqchose ne pas être de dimension supérieure à 2.

d'un point de vue géométrie, l'intersection d'un plan avec autre chose est forcément compris dans le plan.

-> le principe de compléter, c'est justement de prendre de choisir des vecteurs en dehors du ssev

d'un point de vue géométrie plan de de base, si on a une base d'un plan dans l'espace, on peut le compléter par un vecteur non colinéaire au plan pour avoir un base de l'espace R3
Tous les vecteurs de plan vérifient un produit scalaire nul avec un vecteur normal au plan.
Le vecteur qui complète la base ne doit surtout pas vérifier aussi cette propriété, il doit avoir un produit scalaire non nul avec le vecteur normal pour compléter la base. C'est même ici une condition suffisante.

[pascal16]

-> F ∩ G

un vecteur de G s'écrit a.u1 +b.u2 + c.u3
on écrit les coordonnées de ce vecteur
s'il doit aussi appartenir à F, il doit vérifier les deux relations ce qui donne 3 inconnus pour 2 équations.
tu arrives -a=b=c si je ne me trompes pas soit un espace à 1 seule dimension dont -u1+u2+u3 est une base

la question suivant confirme le résultat : 3+2-1=4 comme déjà suggéré.

7/ on peut sans dout écrire facilement de deux manières différentes un élément de F ∩ G

(en géométrie dans l'espace, si tu as deux plans comme Oxy et Oxz, on devine comment décomposer différemment des coordonnées)

[evazion]

Merci Pascal16 pour votre réponse, je vais reprendre tout ça, je n'ai juste pas trop compris comment est ce que vous arrivez, pour la question 6 (En déduire que F+G=, à du : 3+2-1. Je ne vois pas d'où sort ce calcul

[pascal16]

simple : dim(F+G) = dim(F) + dim(G) - dim(F∩G)

[evazion]

Ah oui d'accord, je l'a connais bien en plus cette formule, mais je n'y avais pas pensé. Et travailler avec les dimensions suffit pour montrer que ?

[evazion]

Bonsoir, il me manque encore juste la question 7 que je n'ai pas bien compris

[pascal16]

F+G est donc un ssev de dimension 4 dans un ev de dim 4, c'est donc l'ev entier

pour la 7, soit un vecteur V de F inter G.
Il s'écrit af1 +b f2 dans la base de F de la question 1
il s'écrit dans G c.u1+d.u2+e.u3

V= af1 +b f2 + 0.u1+0.u2+0.u3 = 0.f1 +0.f2 + c.u1+d.u2+e.u3
af1 +b f2 est un vecteur de F
c.u1+d.u2+e.u3 est un vecteur de G
tu as deux écritures différentes sous la forme de somme de vecteurs de F et de G

[evazion]

D'accord, mais en quoi est ce que ça répond à la question ?

[pascal16]

Il faut comprendre la question avant tout

[evazion]

Oui, en fait, après avoir relu la question j'ai bien compris pourquoi il fallait faire ça.
J'ai donc ENFIN fini cet exercice ... Merci beaucoup pour votre aide, elle m'a été précieuse