Exercice espaces vectoriels

[Krys933]

Bonsoir à tous,

Je vous écris car je n'arrive pas à résoudre cet exercice pourriez vous m'aider s'il vous plait :

E un Kev
U V des endomorphismes de E /
E= Im U + Im V = Ker U + Ker V

Montrer que (Im U+ Im V) et (Ker U + Ker V) sont supplémentaires dans E.

Idée de résolution:
- J'ai pensé à passer par la formule de Grassman mais je ne vois pas trop comment y arriver.

Merci beaucoup pour votre aide .

[yos]

E= Im U + Im V = Ker U + Ker V

Montrer que (Im U+ Im V) et (Ker U + Ker V) sont supplémentaires dans E.

Si tu veux prouver que E et E sont supplémentaires, tu vas avoir du mal. Relis la question.
Il faut plutôt prouver que les sommes en hypothèse sont directes.

[Krys933]

oui effectivement, j'ai loupé un cours d'Ev je rame pas mal sur ce chapitre,
tu pourrais m'expliquer l'exo? s'il te plait
merci

[yos]

Tu as E=Im u+ Im v = Ker u+ Ker v et il faut montrer que ces deux sommes sont directes. C'est-à-dire .
On s'en sort bien avec les dimensions et donc le théorème du rang. Eventuellement Grassmann, quoiqu'on peut s'en passer.
Au passage, tu as dû oublier "dimension finie" pour E.

[Krys933]

oui effectivement j'ai confondu , on m'a expliquer que c'etait avec le thm du rang, j'ai le cours sous les yeux, mais je ne vois pas comment l'appliquer dans ce cas concret...

[Krys933]

quelqu'un pourrait il m'expliquer?

[yos]

Calcule dim E de deux façons différentes à partir des hypothèses en utilisant la formule de Grassmann.

[Krys933]

c est à dire ?

[yos]

Un mot de plus reviendrait à te faire l'exo. Alors un peu de courage...