Exercice calcul de somme

[lopilu]

Bonjour, je bloque sur un exercice et je viens vous demander votre aide car je n'en peux vraiment plus !
Voici l'exercice :
n *, on note Sn=
1. a. Justifier que n * - {1}, -
b. En déduire que n *, Sn 2-
c. En déduire que la suite (Sn) est majorée.
2. Déterminer le sens de variation de la suite (Sn).
3. En déduire que la suite (Sn) est convergente.

Merci infiniment pour votre aide ! :we:

[capitaine nuggets]

Salut !

Bonjour, je bloque sur un exercice et je viens vous demander votre aide car je n'en peux vraiment plus !
Voici l'exercice :
n *, on note Sn=
1. a. Justifier que n * - {1}, -
b. En déduire que n *, Sn 2-
c. En déduire que la suite (Sn) est majorée.
2. Déterminer le sens de variation de la suite (Sn).
3. En déduire que la suite (Sn) est convergente.

Merci infiniment pour votre aide ! :we:

Où bloques-tu ?

[lopilu]

En effet j'ai oublié de préciser où je bloquais. En réalité je bloque dès la première question, après de multiples essais et méthodes. Mais pour la 1.b j'ai une vague idée de comment faire, et la suite c'est légèrement le flou...

[capitaine nuggets]

1°)a) Pour , donc .
Par passage à l'inverse...
b) L'application est strictement décroissante sur donc l'ensemble des majorants est...
c) Il faut réunir les deux conditions précédentes : ... et ...
2°) donc tu en déduis le signe de .
3°) Sers-toi des questions 1°)c) et 2°)

[lopilu]

C'est génial ! Merci beaucoup, je me met tout de suite au travail !

[Archibald]

Ou sinon,

a) on remarque que :


b) Sn série géométrique de raison 1/2, d'où :

[capitaine nuggets]

Sn série géométrique de raison 1/2, d'où :

C'est excessivement faux ce que tu dis !
n'est certainement pas une série géométrique :hum:

Déjà, c'est une somme partielle associée à la série :

[CENTER] [/CENTER]

dite de Riemann (d'ordre 2) convergeant vers .
Cela impliquerait l'existence d'un rang , à partir duquel quel que soit , .
Or ce n'est pas le cas.

[Archibald]

Tu remarqueras que j'ai lu en lieu et place de (allez savoir pourquoi) donc il y a déjà un couac. Le reste n'est qu'abus de langage de ma part, ça m'apprendra à être plus rigoureux dans ma rédaction la prochaine fois.

[deltab]

Bonsoir

Pour la majoration , essaies d'utiliser la suite en simplifiant éventuellement son expression (somme télescopique).

[capitaine nuggets]

Tu remarqueras que j'ai lu en lieu et place de (allez savoir pourquoi) donc il y a déjà un couac. Le reste n'est qu'abus de langage de ma part, ça m'apprendra à être plus rigoureux dans ma rédaction la prochaine fois.

Pas de problème :++:
Je me disais aussi que ça me semblait bizarre venant de toi mais te voyant poursuivre je me suis dit que t'avais rien remarqué :+++:

[lopilu]

Après avoir expérimenté plusieurs de vos techniques durant plusieurs jours, je n'arrive toujours pas à la fin de cette exercice, ne trouvant jamais les bons résultats et bonnes équations...

[leon1789]

As-tu prouvé que (Sn) est majorée ?
As-tu prouvé que (Sn) est croissante ?
Maintenant, il y a un théorème qui prouve que (Sn) converge, non ?

[lopilu]

Je bloque à la question précédente, où il faut prouver l'inégalité.

[leon1789]

Je bloque à la question précédente, où il faut prouver l'inégalité.

Pour k>1, tu as prouvé
donc

ok ?



Et puis



ok ?

[lopilu]

C'est ici que j'avais un problème, j'avais oublié justement le +1 en changeant les bornes de Sn. Erreur stupide d'étourderie, ne m'en dis pas plus, je vais essayer maintenant et ça devrait beaucoup mieux aller. Merci beaucoup de ton aide !

[Archibald]

Au passage, je viens de remarquer une erreur de capitaine nuggets :

b) L'application est strictement décroissante sur donc l'ensemble des majorants est...

sans rancune ^^

[lopilu]

Donc si je comprends bien pour la suite de l'exercice : pour montrer qu'elle est majorée, j'utilise les deux éléments que j'ai démontré précédemment. Pour déterminer son sens de variation et montrer qu'elle converge, j'étudie son signe en faisant la différence Sn+1 - Sn, mais n'est-ce pas un peu long de devoir faire cette différence de somme ?

[leon1789]

Pour déterminer son sens de variation et montrer qu'elle converge, j'étudie son signe en faisant la différence Sn+1 - Sn, mais n'est-ce pas un peu long de devoir faire cette différence de somme ?

ben non, c'est pas long, c'est instantané !
regarde les sommes : ce sont les mêmes sauf la borne supérieure...
Sn+1 - Sn = 1/(...)^2

[lopilu]

Je pensais que c'était plus long et voyait cela plus compliqué... Je m’exécute tout de suite à le faire, même si ce sera un peu long vu l'heure !
En tout cas merci beaucoup pour l'aide !