Exercice d'Algèbre

[Maxdu21Eiffel]

Bonjour a tous, j'aurais besoin d'aide pour l'exercice suivant:

Soit E un K-espace vectoriel et f un endomorphisme de E.

1) Comparer au sens de l'inclusion Ker(f) et Ker(fof) d'une part et Im(f) et Im(fof) d'autre part.
2) On suppose E de dimension finie. Montrer que : Ker(f)=Kerf(fof) ssi Im(f)=Im(fof)
(On pourra utiliser 1) et le théorème du rang.)

Merci de votre aide d'avance..

[jonses]

Salut

Bonjour a tous, j'aurais besoin d'aide pour l'exercice suivant:

Soit E un K-espace vectoriel et f un endomorphisme de E.

1) Comparer au sens de l'inclusion Ker(f) et Ker(fof) d'une part et Im(f) et Im(fof) d'autre part.

Si x est dans Ker(f), f(x)=0 et donc fof(x)=f(f(x))=...

Si y est dans Im(fof), alors il existe x dans E tel que y=fof(x)=f(f(x)) or f(x) est dans E, donc y est dans...

2) On suppose E de dimension finie. Montrer que : Ker(f)=Kerf(fof) ssi Im(f)=Im(fof)
(On pourra utiliser 1) et le théorème du rang.)

Je suppose E de dimension finie
Essaye d'appliquer le théorème du rang à fof qui va de E dans E : rg(fof) + dim(Ker(fof))= dim(E)
et le théorème du rang à f : rg(f)+dim(Ker(f)) =dim(E)

Je pense qu'à partir de ça on peut faire quelque chose

[Maxdu21Eiffel]

Pour la première inclusion j'ai compris cela donne:
Si x est dans Ker(f), f(x)=0 et donc fof(x)=f(f(x))=f(OE)=OE

Pour la seconde je suis moins sure...:
Si y est dans Im(fof), alors il existe x dans E tel que y=fof(x)=f(f(x)) or f(x) est dans E, donc y est dans f(E)??

En ce qui concerne la seconde question je ne comprend pas trop à quoi le théorème du rang nous sert à prouver ce qu'il faut..

Merci de ta réponse rapide et de ton aide précieuse.

[jonses]

Pour la première inclusion j'ai compris cela donne:
Si x est dans Ker(f), f(x)=0 et donc fof(x)=f(f(x))=f(OE)=OE

C'est ça, du coup x est dans Ker(fof), et ce pour tout x de Ker(f), ce qui veut dire que Ker(f) est dans Ker(fof)

Pour la seconde je suis moins sure...:
Si y est dans Im(fof), alors il existe x dans E tel que y=fof(x)=f(f(x)) or f(x) est dans E, donc y est dans f(E)??

Tout est bon, y est bien dans f(E), or f(E)=Im(f), donc on a que Im(fof) est dans Im(f)

En ce qui concerne la seconde question je ne comprend pas trop à quoi le théorème du rang nous sert à prouver ce qu'il faut..

Merci de ta réponse rapide et de ton aide précieuse.

Tu as les relations : rg(fof) + dim(Ker(fof))= dim(E) et rg(f)+dim(Ker(f)) =dim(E)

Si Ker(f)=Ker(fof), alors rg(fof)=rg(f), or Im(fof) est un sous espace-vectoriel de Im(f) donc on a l'égalité Im(f)=Im(fof)

Si rg(f)=rg(fof) alors dim(Ker(f))=dim(Ker(fof)) or Ker(f) est un sous-espace vectoriel de Ker(fof) donc il y a égalité Ker(f)=Ker(fof)

[Maxdu21Eiffel]

Merci de ton aide, l'exercice est terminer, bonne soirée a toi. :)