Petit exercice d'algébre

par **Epsilon** » 30 Nov 2009, 16:36

Bonjour
un petit exercice d'algèbre.
Montrez que tous les sous-groupes de

sont de la forme

, avec

.

Bon, ce que j'ai compris que je dois prouver deux choses:
1-montrer que les ensemble de la forme

sont des sous-groupes de

.
2-montrer qu'il nexiste pas d'autre sous-groupes
La première facile à montrer il me reste la deuxième
merci de m'aider

par **Nightmare** » 30 Nov 2009, 16:39

Salut !

Comme d'hab l'idée est d'intersecter notre supposé sous-groupe H avec N* pour obtenir un ensemble avec une borne inférieure n. Montrer alors que H=nZ

par **Epsilon** » 30 Nov 2009, 16:46

Nightmare
j'ai rien compris !
pouvez vous m'aider pas à pas ?

par **Nightmare** » 30 Nov 2009, 16:48

On considère H un sous-groupe de Z et son intersection avec N*. Cette dernière admet une borne inférieure (pourquoi?) qu'on va noter n.

Essaye de montrer par argument de division Euclidienne qu'alors H=nZ

par **Epsilon** » 30 Nov 2009, 16:53

un essai..
(H inter N*) est un sous-ensemble de N donc il est minoré par un element n (car N est minoré par 0 ?!)

par **Epsilon** » 30 Nov 2009, 16:56

soit

un element de H
on a

car n est un minorant, donc

, où

et aprés ?

par **Nightmare** » 30 Nov 2009, 16:58

J'ai pas trop compris ce que tu viens d'essayer de montrer. Je suppose que tu voulais dire qu'il admettait une borne inférieure. Une fois qu'on a dit qu'il était minoré (par 0 effectivement) il faut quand même prouver qu'il est non vide. Pourquoi est-ce vrai ?

par **Epsilon** » 30 Nov 2009, 17:02

H est un sous-groupe donc il n'est pas vide , il contient au moins le 0

par **Epsilon** » 30 Nov 2009, 17:04

donc

n*q \in H[/TEX] donc

par **Nightmare** » 30 Nov 2009, 17:04

H est non vide, c'est certain, mais H inter N* ?

par **Epsilon** » 30 Nov 2009, 17:05

supposer c un element de H donc -c est un element de H
donc soit c soit -c est un element de H inter N*

par **Nightmare** » 30 Nov 2009, 17:09

C'est ça, il est clair que H ne peut pas avoir que des éléments négatifs vu qu'il est stable par passage à l'opposé.

D'accord, donc H inter N* est non vide, minoré donc admet une borne inf. En fait ici il s'agit même d'un minimum.

Il reste à prouver que H=nZ, il faut donc prouver que tout élément de H est divisible par n, ou autrement dit, que le reste dans la division par n d'un élément h de H est nul. Pourquoi est-ce forcément vrai?

par **Epsilon** » 30 Nov 2009, 17:14

euh
soit x un element de (H inter N*)
x>n donc x=n*q+r
alors r=x-n*q

et

donc r

et parés ?

par **Nightmare** » 30 Nov 2009, 17:16

Qu'elle unique hypothèse a-t-on sur r ?

par **Epsilon** » 30 Nov 2009, 17:17

...que r est un min !

par **Nightmare** » 30 Nov 2009, 17:18

Ah bon? Je croyais que c'était n !

par **Epsilon** » 30 Nov 2009, 17:19

ou bien 0<(ou egale) r

Petit exercice d'algébre

petit exercice d'algébre

Qui est en ligne