Aide exercice algèbre linéaire

[shar]

Bonjour,

http://www.noelshack.com/2017-34-7-1503 ... apture.png à la question 2, comment former la matrice?

On a Po=(X+alpha(0))^n ... Pn=(X+alpha(n))^n.

Donc à part le binôme de Newton qui ne me semble pas très commode, je ne vois pas comment on peut décomposer les Po,P1,...,Pn et les exprimer en fonction de (X^n,...,X,1).

Et je ne vois pas non plus comment faire la b de la même question


Merci d'avance

[capitaine nuggets]

Salut !

Ne connais-tu pas la formule du binôme de Newton ? Pour , on a quel que soit , , où .

[shar]

Si si j'y avais pensé mais ça me semblait assez "lourd" comme matrice.

Mais comment en déduire que (Po,P1,...Pn) est une base avec seulement la matrice?

[shar]

https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?(X+\alpha_i)^n%20=%20\sum_{k=0}^n%20C_n^k%20\alpha_i^{n-k}%20X^k

Je ne comprend toujours pas comment je peux exprimer cette somme en fonction de (X^n,...,X,1)

[infernaleur]

Écrit ce que t'as dit capitaine nuggets sans le sigma tu verras mieux ce qu'il faut mettre dans ta matrice.

[shar]

Je crois avoir compris

Pour montrer que (Po,P1,..,Pn) est une base de Kn[X] , je dois calculer le déterminant de cette matrice et montrer qu'il est différent de 0 c'est bien ça?

[Pseuda]

Bonsoir,

Oui c'est ça. Tu peux exprimer cette nouvelle matrice en fonction de la matrice M (par factorisation des lignes) dont tu as montré à la question 1 qu'elle était inversible.

[shar]

Je n'ai pas réussi à conclure que la matrice M était inversible , j'ai bien établit P(alpha(i))=0 , mais je vois pas comment en conclure que M est inversible.

[Pseuda]

P est un polynôme de degré n qui admet n+1 racines. Que peux-tu en conclure pour P ? Puis pour les beta_i ? Puis pour les lignes de la matrice M ? Puis pour la matrice M ?

[shar]

P est le polynôme nul.
Les beta_i sont tous nul.
Les lignes de la matrice M forment une famille libre.

Mais je vois pas le lien direct avec l'inversibilité de la matrice ...

[shar]

Ah si je crois que c'est bon, on n+1 lignes linéairement indépendantes , donc le rang de la matrice est n+1 , or M est une matrice appartenant à M_n+1 , donc elle est inversible.

[Pseuda]

Oui, les lignes de M sont linéairement indépendantes, cela suffit pour dire que M est inversible.

[shar]

Bonsoir,

Oui c'est ça. Tu peux exprimer cette nouvelle matrice en fonction de la matrice M (par factorisation des lignes) dont tu as montré à la question 1 qu'elle était inversible.

Comment peut-on factoriser? On a à chaque ligne un coefficient binomial différent.

[Pseuda]

Peux-tu retranscrire ici la matrice que tu as trouvée ?

[shar]

[Pseuda]

Bonjour,

Image pas visible pour moi, mais je suis sur téléphone.

[shar]

Bonjour, avec ces liens ça devrait marcher https://image.noelshack.com/fichiers/2017/44/2/1509445306-20171031-003047-preview.jpeg

https://image.noelshack.com/fichiers/2017/44/2/1509445303-20171031-003055-preview.jpeg

[Pseuda]

Ok. Pour ma part, je vois qu'à chaque ligne, le coefficient binomial est le même...

[shar]

Pour la ligne X^n le coefficient binomial est "n parmi n" , 1
Pour la ligne X^n-1 le coefficient binomial est 'n-1 parmi n"
etc pour la ligne X le coefficient binomial est "1 parmi n"

Ils sont bien différent entre chaque ligne non? Donc je vois pas comment on peut factoriser

[Pseuda]

Sur une même ligne, c'est le même. On peut donc factoriser chaque ligne. Toi tu parles des colonnes.

On peut factoriser les lignes comme les colonnes dans un déterminant.