Exercice: action de groupes: théorie

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ptite-mary
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exercice: action de groupes: théorie

par ptite-mary » 11 Mar 2007, 13:55

alors voila, on a X un ensemble et Bij(X) l'ensemble de toutes les bijections f:X -> X
la première question était montrer que Bij muni de la composition des applications est un groupe abélien, cette question, je pense l'avoir bien faite.

la deuxième question est
2. soit G un groupe et X son ensemble: une action de G sur X est une application p: G x X -> X : (g,x) -> g . x vérifiant:
-pour tout g, h € G, pour tout x € X, g . (h . x) = (gh). x;
-pour tout x € X, e . x = x
Vérifier que les applications g : X -> X : x -> g . x sont des bijections

j'ai essayer de montrer qu'elles étaient injectives en posant g (x1) = g (x2) mais je trouve que ça manque d'explication... et sinon la surjectivité je sais pas trop comment l'expliquer....
merci de m'aider! marie :hein:



fahr451
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par fahr451 » 11 Mar 2007, 15:02

bonjour

en notant T(g) l 'application X ->X x->g.x
T(g) est bijective et son application réciproque est T(g^(-1))
il suffit pour le prouver de vérifier que la composée dans les deux sens donne id

Blueberry
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Bijection

par Blueberry » 11 Mar 2007, 15:03

Bonjour,

Pour montrer qu'une application est bijective il suffit de trouver un inverse de cette application.

Or g^-1.(g.x) = (g^-1g).x = e.x = x.
et g.(g^-1.x) = (g.g^-1).x = e.x = x.
D'où l'application est bijective d'inverse x---->g^-1.x

abcd22
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par abcd22 » 12 Mar 2007, 04:25

ptite-mary a écrit:alors voila, on a X un ensemble et Bij(X) l'ensemble de toutes les bijections f:X -> X
la première question était montrer que Bij muni de la composition des applications est un groupe abélien, cette question, je pense l'avoir bien faite.

Pourtant les groupes symetriques ne sont pas abeliens des que n > 2...

ptite-mary
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par ptite-mary » 12 Mar 2007, 20:42

abcd22 a écrit:Pourtant les groupes symetriques ne sont pas abeliens des que n > 2...

je n'ai pas parlé de groupe symétrique...

yos
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par yos » 12 Mar 2007, 20:58

Bonjour. Je confirme : ton groupe est pas abélien. sauf cas très particulier (au plus deux éléments).

ptite-mary
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par ptite-mary » 13 Mar 2007, 20:32

autand pour moi :marteau:

abcd22
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par abcd22 » 14 Mar 2007, 04:41

ptite-mary a écrit:je n'ai pas parlé de groupe symétrique...

Si X est un ensemble de n elements Bij(X) est isomorphe a .

 

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