Action de groupes

[legeniedesalpages]

Bonjour,

je galère sur cet exo:

Soient un groupe et un sous-groupe de .

1) Montrer que le noyau de l'action de sur par translation à gauche est le sous-groupe .
Montrer que c'est le plus grand sous-groupe distingué dans contenu dans .

2) En déduire que si est un groupe simple, pour tout sous-groupe de , est isomorphe à un sous-groupe de .

3) Montrer que si est un sous-groupe d'indice de , il est isomorphe au groupe .


Pour la 1) et la 2) c'est ok, mais je ne vois pas ce qu'il faut faire pour la 3).

Merci pour votre aide.

[legeniedesalpages]

Enfin il y a quelques cas déjà traités:

donc ,

si , on sait d'un exo précédent que qui est de cardinal , donc isomorphe à ,

si , alors , donc isomorphe à ,

si , alors , , donc isomorphe à ou à , or et n'admet pas d'élément d'ordre 6, donc .

après c'est pour le cas où j'ai plus de mal, sachant que l'exo précédent consistait à montrer que pour , est un groupe simple et que c'est le seul groupe distingué non trivial de .