Evn: distance / ouverts et fermés

[Supernova]

Hello!
E un evn, A et B 2 parties non vides de E et x £ E
Je désire de mq d(x,A)=0 implique que x est une valeur d'adhérence de A, je veux construire une suite à valeurs dans A convergeant vers x mais je ne sais pas comment la choisir.
Une autre question: si A et B sont des fermés disjoints, comment montrer l'existence de deux ouverts disjoints tq A C U et B C V, Pourriez-vous me donner une indication pour ne pas rester bloquée.

Merci

[Judoboy]

Hello!
E un evn, A et B 2 parties non vides de E et x £ E
Je désire de mq d(x,A)=0 implique que x est une valeur d'adhérence de A, je veux construire une suite à valeurs dans A convergeant vers x mais je ne sais pas comment la choisir.

Montre plutôt que tout voisinage de x rencontre A.

Une autre question: si A et B sont des fermés disjoints, comment montrer l'existence de deux ouverts disjoints tq A C U et B C V, Pourriez-vous me donner une indication pour ne pas rester bloquée.

Merci

Soit epsilon la distance entre tes 2 fermés (epsilon est strictement positif d'après la question 1, je te laisse le vérifier), cherche à fabriquer un ouvert qui ne "s'éloigne pas trop" de tes fermés.

[Supernova]

stp, je sais pas à présent comment traduire le fait que d(x,A)=0

[Judoboy]

stp, je sais pas à présent comment traduire le fait que d(x,A)=0

Bah pour tout epsilon>0 il existe un élément a de A tel que d(x,a)<epsilon.

Regarde la définition de la distance d'un ensemble à un point.

[Supernova]

d'aprèes ce que tu as dis sans utiliser les voisinages on peut tout simplement dire que pour tout n £ IN*, il existe x_n dans A tq ||x_n - x|| < 1/n donc x_n tend vers x d'où le résultat

[Judoboy]

d'aprèes ce que tu as dis sans utiliser les voisinages on peut tout simplement dire que pour tout n £ IN*, il existe x_n dans A tq ||x_n - x|| < 1/n donc x_n tend vers x d'où le résultat

J'avais pas fait gaffe mais tu confonds les définitions : on parle de valeur d'adhérence d'une suite mais de point adhérent à un ensemble.

On dit que x est adhérent à A si tout voisinage de x rencontre A.

x est valeur d'adhérence de (Un) s'il existe une sous-suite de (Un) qui converge vers x.

[Supernova]

Moi j'ai utilisé la caractérisation des fermés:
F est un fermé ssi pour toute suite à valeurs dans F qui converge vers x on a x £ F

L'adhérence de A est un fermé

[Judoboy]

Moi j'ai utilisé la caractérisation des fermés:
F est un fermé ssi pour toute suite à valeurs dans F qui converge vers x on a x £ F

L'adhérence de A est un fermé

A aucun moment on te demande de montrer que A est fermé.


"x est une valeur d'adhérence de A" ça veut rien dire, un point peut être valeur d'adhérence d'une suite pas d'une partie de l'espace.

x est adhérent à A si tout voisinage de x rencontre A, c'est ce que tu as montré en fait car tout voisinage de A contient une boule ouverte de centre x de rayon 1/n pour n suffisamment petit, donc contient ton point xn.

Question en passant : la caractérisation séquentielle en fait ça fait appel à l'axiome du choix dénombrable non (il faut choisir un élément de B(x,1/n)) ?