par Ben314 » 19 Nov 2014, 17:49
Si tu veut tout démontrer "archi propre", ta preuve déconne un peu :
1) Si x=1 et r=1 alors x+r=2 est dans A.
2) En topo, les disques, si on ne précise rien, c'est des disques ouverts donc par exemple dans R, D(x,r]=]x-r,x+r[ et x+r n'est pas un élément du disque.
Bilan, il faut plutôt considérer x+r/2 (qui est forcément dans D(x,r)) et faire un mini cas particulier lorsque x=1 et r=2 vu que dans ce cas, x+r/2=2 est dans x (mais on n'a quand même pas D(1,2) contenu dans A)
Ensuite, concernant le vocable "boule""disque", c'est la même chose, modulo qu'on emploie le terme de "disque" que dans R² alors qu'on emploi le terme de "boule" dans n'importe quel espace métrique (y compris R²...) donc si tu met "boule" tout le temps, y'a pas de soucis. :ptdr:
Enfin, concernant le "pourquoi on fait comme ça", par exemple pour déterminer l'intérieur d'un ensemble, on utilise les deux définitions équivalentes suivante (dans ton cours, une des deux est une définition et l'autre un théorème...) :
1) L'intérieur d'une partie A, c'est l'ensemble des x de A tels qu'il existe un r>0 tel que D(x,r) soit contenu dans A.
2) L'intérieur d'une partie A, c'est le plus grand (au sens de l'inclusion) ouvert contenu dans A (qui existe car toute réunion d'ouvert est un ouvert donc la réunion de tout les ouverts contenu dans A est forcément "le plus grand ouvert contenant A")
Lorsque tu as "l'intuition" que l'intérieur de A, c'est X, pour le prouver, on peut utiliser soit l'un soit l'autre, mais le plus simple (il me semble", c'est "un peu des deux" :
Si tu montre que ton X est ouvert et contenu dans A, via le 2), ça prouve qu'il est contenu dans l'intérieur de X.
Reste à montrer qu'il n'y a pas plus "grand" et il me semble que le plus simple, c'est de montrer que les points x que tu n'a pas pris (donc ceux de A privé de X) ne sont pas dans l'intérieur, c'est à dire (négation du 1)) tels que, quelque soit r>0, D(x,r) n'est pas contenu dans A.
Pour ce dernier point, on peut aussi exhiber une suite d'éléments du complémentaire de A qui tendent vers le x en question : ça prouve que x n'est pas dans l'intérieur de A (il est dans l'adhérence du complémentaire de A qui est le complémentaire de l'intérieur de A...)
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius