A propos des ouverts, fermés, de l'adhérence, de l'intérieur

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capitaine nuggets
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A propos des ouverts, fermés, de l'adhérence, de l'intérieur

par capitaine nuggets » 16 Nov 2014, 06:52

Bonjour, je reviens cette fois-ci pour une histoire de topologie ^^
Je pense avoir saisi pas mal de choses (probablement pas tout) à propos des ouverts, fermés, de l'adhérence, de l'intérieur et de la frontière. Le seul problème, c'est que j'ai du mal à justifier certains de mes résultats...
Voici un exercice que j'ai cherché qui le prouve :

On considère dans le sous-ensemble suivant :

, en prenant la boule ouverte , intersecte toujours le complémentaire de , ou encore .
Donc j'en conclus que n'est pas un ouvert de .
- Le fait qu'on ait "" ou encore " ;
- ;
- ;
En admettant que c'est juste ? C'est surtout le dessin qui me guide... :we:

Merci d'avance pour vos remarques, aides et conseils :+++:
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Ben314
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par Ben314 » 16 Nov 2014, 13:22

Salut,

Pour le 1), c'est O.K.. A la limite rajoute que l'intersection de la boule et du complémentaire de X est non vide car elle contient (1,-r/2)

Pour la 2), c'est bon, modulo que tu t'es gourré entre les x et les y : (1,0) est dans X. Par contre (0,1) n'est pas dans X.
Et tu te sert (heureusement) de la distance sur R² lorsque tu parle de la limite de la suite Un : dire qu'elle tend vers (1,0), ça signifie que, quelque soit epsilon>0, il existe N tel que, pour tout n>N, la distance de Un à L est plus petite que epsilon.

Pour le 3), les réponses sont justes, mais a chaque fois, il faut le justifier :
- Pour montrer que l'intérieur de X est bien l'ensemble X1 que tu donne, il faut que tu montre que X1 est contenu dans X, qu'il est ouvert et que, pour tout point xo de X privé de X1, il existe r>0 tel que D(xo,r) ne soit pas contenu dans X.
- Pour montrer que l'adhérence de X est bien l'ensemble X2 que tu donne, il faut que tu montre que X2 contient X, qu'il est fermé et que, pour tout point xo de X1 privé de X, et tout r>0 D(xo,r) inter X est non vide.
- Pour la frontière par contre, il n'y a (presque) rien à faire vu que c'est l'adhérence privé de l'interieur.

Est-ce que tu as vu la définition (avec des ouverts) des fonctions continues ?
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barbu23
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par barbu23 » 16 Nov 2014, 14:33

C'est quoi "us" ? :hein:
"us" , en anglais signifie : "nous". :zen:

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Ben314
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par Ben314 » 16 Nov 2014, 15:13

us = "usuelle" (la topologie usuelle sur R²)
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barbu23
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par barbu23 » 16 Nov 2014, 15:15

Ah oui. Merci.

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capitaine nuggets
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par capitaine nuggets » 17 Nov 2014, 02:12

Ben314 a écrit:Pour le 3), les réponses sont justes, mais a chaque fois, il faut le justifier :
- Pour montrer que l'intérieur de X est bien l'ensemble X1 que tu donne, il faut que tu montre que X1 est contenu dans X, qu'il est ouvert et que, pour tout point xo de X privé de X1, il existe r>0 tel que D(xo,r) ne soit pas contenu dans X.
- Pour montrer que l'adhérence de X est bien l'ensemble X2 que tu donne, il faut que tu montre que X2 contient X, qu'il est fermé et que, pour tout point xo de X1 privé de X, et tout r>0 D(xo,r) inter X est non vide.
- Pour la frontière par contre, il n'y a (presque) rien à faire vu que c'est l'adhérence privé de l'interieur.

Est-ce que tu as vu la définition (avec des ouverts) des fonctions continues ?

D'accord, toutefois, j'épprouve quelque difficultés à montrer et comprendre le sens des éléments suivants :
- "pour tout point xo de X privé de X1, il existe r>0 tel que D(xo,r) ne soit pas contenu dans X." pour l'intérieur ;
- "pour tout point xo de X1 privé de X, et tout r>0 D(xo,r) inter X est non vide" pour l'adhérence.
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par Ben314 » 17 Nov 2014, 02:47

capitaine nuggets a écrit:D'accord, toutefois, j'épprouve quelque difficultés à montrer et comprendre le sens des éléments suivants :
- "pour tout point xo de X privé de X1, il existe r>0 tel que D(xo,r) ne soit pas contenu dans X." pour l'intérieur ;
- "pour tout point xo de X1 privé de X, et tout r>0 D(xo,r) inter X est non vide" pour l'adhérence.
J'ai effectivement écrit des grosse c...

Reprenons en prenant le temps :

- Pour montrer que l'intérieur de X est bien l'ensemble X1 que tu donne, il faut que tu montre que X1 est contenu dans X, qu'il est ouvert et que, tout point xo de X privé de X1 n'est pas dans l'intérieur, c'est à dire que, pour tout r>0, le disque D(xo,r) n'est pas contenu dans X.

- Pour montrer que l'adhérence de X est bien l'ensemble X2 que tu donne, il faut que tu montre que X2 contient X, qu'il est fermé et que, tout point xo du complémentaire dans R^2 de X2 n'est pas dans l'adhérence de X, c'est à dire qu'il existe un r>0 tel que D(xo,r) inter X soit vide.

Si tu préfère (c'est assez souvent un peu plus simple), tu peut à la place utiliser la caractérisation séquentielle des fermés et de l'adhérence : un pour xo est dans l'adhérence d'une partie X ssi il est limite d'une suite de point de X.
Ca marche aussi pour caractériser l'intérieur vu que l'intérieur de X, c'est le complémentaire de l'adhérence du complémentaire de X.

P.S. en regardant la différence entre ce que j'avais écrit et... ce que j'aurais du écrire... je me fait du soucis sur mon état mental... :triste:
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par capitaine nuggets » 19 Nov 2014, 17:13

D'accord. J'ai commencé par prendre quelques exemples trouvés sur le net pour essayer, mais j'ai encore un peu de mal. Je commence avec un exemple simple :

Soit le sous-ensemble de défini par .
Je rappelle que le but est de déterminer si l'intérieur, l'adhérence et la frontière de dans .

Je considère donc :
;
;
.

Je veux montrer qu'en fait , et .

- Je pense qu'il est assez évident (pour ne pas s'attarder dessus) que .
et sont deux ouverts de donc leur réunion l'est aussi.
Soient et ; considérons le disque . D'après ce que tu as dit et si j'ai bien compris, i faut montrer que tout point x de A privé de X n'est pas dans l'intérieur de A. n'appartient jamais à X donc n'est pas contenu dans . (j'ai un peu de mal à comprendre le sens de la dernière étape, tu pourrais me ré-expliquer stp. Une autre question : tu parles de considérer un disque, pourquoi pas une boule ?).

Ai-je bon jusque là ?
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par Ben314 » 19 Nov 2014, 17:49

Si tu veut tout démontrer "archi propre", ta preuve déconne un peu :
1) Si x=1 et r=1 alors x+r=2 est dans A.
2) En topo, les disques, si on ne précise rien, c'est des disques ouverts donc par exemple dans R, D(x,r]=]x-r,x+r[ et x+r n'est pas un élément du disque.
Bilan, il faut plutôt considérer x+r/2 (qui est forcément dans D(x,r)) et faire un mini cas particulier lorsque x=1 et r=2 vu que dans ce cas, x+r/2=2 est dans x (mais on n'a quand même pas D(1,2) contenu dans A)

Ensuite, concernant le vocable "boule""disque", c'est la même chose, modulo qu'on emploie le terme de "disque" que dans R² alors qu'on emploi le terme de "boule" dans n'importe quel espace métrique (y compris R²...) donc si tu met "boule" tout le temps, y'a pas de soucis. :ptdr:

Enfin, concernant le "pourquoi on fait comme ça", par exemple pour déterminer l'intérieur d'un ensemble, on utilise les deux définitions équivalentes suivante (dans ton cours, une des deux est une définition et l'autre un théorème...) :
1) L'intérieur d'une partie A, c'est l'ensemble des x de A tels qu'il existe un r>0 tel que D(x,r) soit contenu dans A.
2) L'intérieur d'une partie A, c'est le plus grand (au sens de l'inclusion) ouvert contenu dans A (qui existe car toute réunion d'ouvert est un ouvert donc la réunion de tout les ouverts contenu dans A est forcément "le plus grand ouvert contenant A")

Lorsque tu as "l'intuition" que l'intérieur de A, c'est X, pour le prouver, on peut utiliser soit l'un soit l'autre, mais le plus simple (il me semble", c'est "un peu des deux" :
Si tu montre que ton X est ouvert et contenu dans A, via le 2), ça prouve qu'il est contenu dans l'intérieur de X.
Reste à montrer qu'il n'y a pas plus "grand" et il me semble que le plus simple, c'est de montrer que les points x que tu n'a pas pris (donc ceux de A privé de X) ne sont pas dans l'intérieur, c'est à dire (négation du 1)) tels que, quelque soit r>0, D(x,r) n'est pas contenu dans A.

Pour ce dernier point, on peut aussi exhiber une suite d'éléments du complémentaire de A qui tendent vers le x en question : ça prouve que x n'est pas dans l'intérieur de A (il est dans l'adhérence du complémentaire de A qui est le complémentaire de l'intérieur de A...)
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par capitaine nuggets » 19 Nov 2014, 18:53

Ben314 a écrit:Si tu veut tout démontrer "archi propre", ta preuve déconne un peu :
1) Si x=1 et r=1 alors x+r=2 est dans A.
2) En topo, les disques, si on ne précise rien, c'est des disques ouverts donc par exemple dans R, D(x,r]=]x-r,x+r[ et x+r n'est pas un élément du disque.
Bilan, il faut plutôt considérer x+r/2 (qui est forcément dans D(x,r)) et faire un mini cas particulier lorsque x=1 et r=2 vu que dans ce cas, x+r/2=2 est dans x (mais on n'a quand même pas D(1,2) contenu dans A)

Ensuite, concernant le vocable "boule""disque", c'est la même chose, modulo qu'on emploie le terme de "disque" que dans R² alors qu'on emploi le terme de "boule" dans n'importe quel espace métrique (y compris R²...) donc si tu met "boule" tout le temps, y'a pas de soucis. :ptdr:

Enfin, concernant le "pourquoi on fait comme ça", par exemple pour déterminer l'intérieur d'un ensemble, on utilise les deux définitions équivalentes suivante (dans ton cours, une des deux est une définition et l'autre un théorème...) :
1) L'intérieur d'une partie A, c'est l'ensemble des x de A tels qu'il existe un r>0 tel que D(x,r) soit contenu dans A.
2) L'intérieur d'une partie A, c'est le plus grand (au sens de l'inclusion) ouvert contenu dans A (qui existe car toute réunion d'ouvert est un ouvert donc la réunion de tout les ouverts contenu dans A est forcément "le plus grand ouvert contenant A")

Lorsque tu as "l'intuition" que l'intérieur de A, c'est X, pour le prouver, on peut utiliser soit l'un soit l'autre, mais le plus simple (il me semble", c'est "un peu des deux" :
Si tu montre que ton X est ouvert et contenu dans A, via le 2), ça prouve qu'il est contenu dans l'intérieur de X.
Reste à montrer qu'il n'y a pas plus "grand" et il me semble que le plus simple, c'est de montrer que les points x que tu n'a pas pris (donc ceux de A privé de X) ne sont pas dans l'intérieur, c'est à dire (négation du 1)) tels que, quelque soit r>0, D(x,r) n'est pas contenu dans A.

Pour ce dernier point, on peut aussi exhiber une suite d'éléments du complémentaire de A qui tendent vers le x en question : ça prouve que x n'est pas dans l'intérieur de A (il est dans l'adhérence du complémentaire de A qui est le complémentaire de l'intérieur de A...)

Effectivement, tu apportes des éclaircissement à mon cours :+++:
J'y retourne du coup :++:
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