Estimation ponctuelle de la moyenne

[Abouz]

Salut à vous SVP j'aurai besoin de vos avis sur un exercice que j'ai essayé de faire.

Exercice
Soient X une variable aléatoire réelle suivant la loi normale N(,) et (X1,X2,...,Xn) un n-échantillon de X. Soient &X=1/n(X1,X2,...Xn) et S^2=1/n-1(X1^2+X2^2+...+Xn^2)-&X^2

1) calculer E(&X^2) et E(S^2)
2) parmi T1= n*&X^2/n+1 et T2= S^2, quel est le meilleur estimateur de theta carré?

Solution
1) E(&X^2)=E[1/n^2(X1+X2+...+Xn)]
= 1/n^2E[(X1+X2+...Xn)^2]
=1/n^2[E(X1)+E(X2)+...+E(Xn)]^2
=1/n^2[nE(X)]^2
=E(X)^2

E(S^2)=1/n-1[E(x1^2)+...+E(Xn^2)]-E(&X^2)
=1/n-1[nE(X^2)]-E(&X^2)

2)
En remplaçant &X par theta, T1=n*theta carré/n+1
En remplaçant S par theta, T2= théta carré
Donc T2 est le meilleur estilateur

MERCI D'AVANCE

[Ben314]

Salut

...
= 1/n^2E[(X1+X2+...Xn)^2]
=1/n^2[E(X1)+E(X2)+...+E(Xn)]^2

Ah ben elle est bien bonne celle là !!!!
Juste une mini remarque : si on avait comme tu l'affirme E(Z^2)=E(Z)^2, je suis pas certain que ça serait bien utile d'introduire la notion de variance qui est justement égale à E(Z^2) - E(Z)^2, non ?

[Abouz]

Salut

...
= 1/n^2E[(X1+X2+...Xn)^2]
=1/n^2[E(X1)+E(X2)+...+E(Xn)]^2

Ah ben elle est bien bonne celle là !!!!
Juste une mini remarque : si on avait comme tu l'affirme E(Z^2)=E(Z)^2, je suis pas certain que ça serait bien utile d'introduire la notion de variance qui est justement égale à E(Z^2) - E(Z)^2, non ?

Dans ce cas je suis bloqué à E(&X^2)=1/n^2E[(X1+X2+...+Xn)^2]

[Ben314]

Déjà, quand on est "bloqué", ben vaut 100 fois mieux rien écrire que d'écrire des énormités pareilles.

Sinon, tu peut (évidement) développer le (X1+X2+...+Xn)^2 vu que tu sait que dans tout les cas l'espérance d'une somme c'est la somme des espérances et c'est ce qu'on fait dans le "cas général".
Sauf qu'ici, vu qu'on connait la loi du X de départ, on peut aussi commencer par voir si y'aurais pas moyen de trouver celle de ton &X (c'est la première fois que je vois une telle notation &X. . . )

[Abouz]

Déjà, quand on est "bloqué", ben vaut 100 fois mieux rien écrire que d'écrire des énormités pareilles.

Sinon, tu peut (évidement) développer le (X1+X2+...+Xn)^2 vu que tu sait que dans tout les cas l'espérance d'une somme c'est la somme des espérances et c'est ce qu'on fait dans le "cas général".
Sauf qu'ici, vu qu'on connait la loi du X de départ, on peut aussi commencer par voir si y'aurais pas moyen de trouver celle de ton &X (c'est la première fois que je vois une telle notation &X. . . )

&X j'appelle ça X barre