Estimation ponctuelle sans biais de moyenne/écart-type/varia

[testtest]

Bonjour,

Je me permet de poster car j'aurais besoin d'un peu d'aide en statistiques inférentielles. En effet, le but du chapitre que je révise consiste en l'estimation de moyenne, variance et écart type selon les intervalles de confiances. Mais pour ça, j'ai besoin en premier lieu de l'estimation ponctuelle sans biais de la moyenne/écart type/variance. Dans mon cours, voici ce qui est noté : on rappelle qu'un estimateur est dit sans biais lorsque sa moyenne est égale au paramètre estimé. Ainsi x barre est une estimation ponctuelle sans biais de µ et s*² est une estimation ponctuelle sans biais de ² (alors que la variance empirique usuelle est une estimation ponctuelle biaisée de ²) et enfin s* est une estimation ponctuelle sans biais de .

Néanmoins, j'ai beau cherché sur internet je ne trouve pas de formules pour x barre, s*² et s*. Du coup je suis bien ennuyée. D'où ma question : comment calculer ces estimateurs ponctuelles sans biais ? J'ai trouvé cette formule pour la moyenne sur internet :
x barre = 1/n * Xi (pour i allant de 1 à n)

Est-ce une formule correcte ? Et quelles sont les autres ?

Merci d'avance !

[Sylviel]

L'estimateur classique (non biaisé) de l'espérance est bien

L'estimateur biaisé de la variance est

et sa version non biaisée


Mais tout ceci devrait être quelque part dans ton cours je pense...
(peut-être dans des chapitres antérieurs ?)

[Sylviel]

Quelqu'un m'ayant demandé de préciser ce qu'est le biais.

En stat on part souvent du principe que l'on veut estimer un certain paramètre lié à une variable aléatoire X. Par exemple son espérance.
On suppose que l'on disposeras de N tirages indépendants de X noté .

Un estimateur de est "une formule" qui donne une valeur sensée être proche de en fonction des valeurs des N tirages. Prenons l'exemple de l'estimateur classique de l'espérance :

Cet estimateur est dit convergeant car si le nombre de tirage N tends vers l'infini alors l'estimateur converge presque sûrement vers l'espérance de X (noté dans l'exemple).

Cet estimateur est cependant lui même aléatoire puisque si on prends un autre jeux de tirages indépendants on obtiendra une autre estimation. Son biais est la différence entre l'espérance de l'estimateur et le paramètre :


Note : on préfère généralement des estimateur non biaisé (comme ça si on fait plusieurs estimations la moyenne de ces estimations sera probablement meilleure). Cependant parfois on préfère un estimateur biaisé mais de variance plus faible (et donc on espére qu'une estimation sera plus proche de la valeur de paramètre, même "biaisé").

[kaka-twit]

je vous remercie pour votre explication , Très simple & claire










Cordialement