[MPSI] Espaces vectoriels

[Anonyme]

Deux petits exercices sûrement pas très difficiles mais que je ne
parviens pas à terminer

1.
Montrer que les endomorphismes de C considéré comme un R ev sont les
applications de la forme z->az + bz(barre) avec (a,b) complexes

où z(barre) est le conjugué de z

Si f:z->az + bz(barre), il est facile de démontrer que f est un
endomorphisme de C
En revanche, comment montrer la condition nécessaire ?
J'imagine qu'il faut triturer les égalités suivantes mais je ne vois pas
bien ce qu'il faut faire

f(z_1 + z_2)=f(z_1) + f(z_2)
f(az)=af(z)

D'une manière générale, quelles questions faut-il se poser face à ce
type de problèmes ? ou devant des équations fonctionnelles ?



2.
Soit E un K ev, phi et psi deux formes linéaires avec psi non nulle.
Montrer que Ker psi = Ker phi si et seulement si il existe a appartenant
à K tel que phi = a*psi

La réciproque est ici évidente.
C'est l'autre sens de l'équivalence que je ne parviens pas à montrer.

Merci beaucoup

[Anonyme]

"Ramier" a écrit dans le message de news:
4180ab47$0$23232$626a14ce@news.free.fr...
> Deux petits exercices sûrement pas très difficiles mais que je ne
> parviens pas à terminer
>
> 1.
> Montrer que les endomorphismes de C considéré comme un R ev sont les
> applications de la forme z->az + bz(barre) avec (a,b) complexes
>
> où z(barre) est le conjugué de z

Un tel endomomorphisme f sera caractérisé par sa valeur en les vecteurs
d'une base, en l'occurence on peut choisir f((1,0))=a+b, et f((0,1))=a-b,
on aura alors f(z = (Re(z),Im(z))) = (a+b) Re(z) + (a-b) Im(z) =
az+bconj(z).
Remarque: ça marche parce que tout couple de complexes (u,v) peut se mettre
sous la forme (a+b,a-b).

--
Julien Santini


>
> Si f:z->az + bz(barre), il est facile de démontrer que f est un
> endomorphisme de C
> En revanche, comment montrer la condition nécessaire ?
> J'imagine qu'il faut triturer les égalités suivantes mais je ne vois pas
> bien ce qu'il faut faire
>
> f(z_1 + z_2)=f(z_1) + f(z_2)
> f(az)=af(z)
>
> D'une manière générale, quelles questions faut-il se poser face à ce
> type de problèmes ? ou devant des équations fonctionnelles ?
>
>
>
> 2.
> Soit E un K ev, phi et psi deux formes linéaires avec psi non nulle.
> Montrer que Ker psi = Ker phi si et seulement si il existe a appartenant
> à K tel que phi = a*psi
>
> La réciproque est ici évidente.
> C'est l'autre sens de l'équivalence que je ne parviens pas à montrer.
>
> Merci beaucoup

[Anonyme]

> 1.
> Montrer que les endomorphismes de C considéré comme un R ev sont les
> applications de la forme z->az + bz(barre) avec (a,b) complexes
>
> où z(barre) est le conjugué de z
>
> Si f:z->az + bz(barre), il est facile de démontrer que f est un
> endomorphisme de C
> En revanche, comment montrer la condition nécessaire ?
> J'imagine qu'il faut triturer les égalités suivantes mais je ne vois pas
> bien ce qu'il faut faire
>
> f(z_1 + z_2)=f(z_1) + f(z_2)
> f(az)=af(z)
>
L'un des moyens assez classique consiste à exprimer f(z):
f(z+z_)=f(z)+f(z_)
f(z-z_)=...
et la ça va tout seul.

[Anonyme]

> 2.
> Soit E un K ev, phi et psi deux formes linéaires avec psi non nulle.
> Montrer que Ker psi = Ker phi si et seulement si il existe a appartenant
> à K tel que phi = a*psi
>

Du coup j'avais oublié de répondre à celle-là ... si Ker psi = Ker phi tu
prends une base B du sous-espace vectoriel (hyperplan) Ker psi = Ker phi et
tu la complètes en B U {e} base de l'e.v. Sur B, Ker psi = Ker phi = 0
tandis que sur {e}, psi et phi sont forcément proportionnelles puisque
valant toutes deux une cste non nulle. Donc elles sont prop. sur tout
l'espace.